Question

14．（1）用分析法證明：$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$＜$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$；
（2）已知a＞0，b＞0，求證：$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$≥a+b．

Answer 1

分析 分別通過分析法即可證明．

解答 證明（1）要證：$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$＜$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$，
只要證：（$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$）²＜（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）²，
只要證13+2$\sqrt{40}$＜13+2$\sqrt{42}$，
只要證$\sqrt{40}$＜$\sqrt{42}$，
只要證40＜42，顯然成立，
故$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$＜$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$；
（2）要證：$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$≥a+b，
只要證b³+a³≥ab（a+b），
只要證（a+b）（a²+b²-ab）≥ab（a+b），
只要證a²+b²-ab≥ab，
只要證a²+b²-2ab≥0，
只要證（a-b）²≥0，顯然成立，
故證：$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$≥a+b

點評 本題考查了利用分析法證明不等式成立，屬于中檔題．