Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），且滿足a_n+S_n=2n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：$\frac{1}{{2{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{2^2}{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{2^n}{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）再寫一式，兩式相減得2a_n-a_n-1=2，整理${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1$，即${a_n}-2=\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-2）$，數(shù)列{a_n-2}是首項為${a_1}-2=-\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：∵a_n+S_n=2n+1，令n=1，得2a₁=3，${a_1}=\frac{3}{2}$． （2分）
∵a_n+S_n=2n+1，∴a_n-1+S_n-1=2（n-1）+1，（n≥2，n∈N^*）
兩式相減，得2a_n-a_n-1=2，整理${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1$（4分）${a_n}-2=\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-2）$，（n≥2）
∴數(shù)列{a_n-2}是首項為${a_1}-2=-\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列
∴${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$． （6分）
（2）證明：∵$\frac{1}{{{2^n}{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{{2^n}•\frac{{{2^{n+1}}-1}}{2^n}•\frac{{{2^{n+2}}-1}}{{{2^{n+1}}}}}}=\frac{{{2^{n+1}}}}{{（{2^{n+1}}-1）（{2^{n+2}}-1）}}=\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+2}}-1}}$（8分）
∴$\frac{1}{{2{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{2^2}{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{2^n}{a_n}{a_{n+1}}}}$=$（\frac{1}{{{2^2}-1}}-\frac{1}{{{2^3}-1}}）+（\frac{1}{{{2^3}-1}}-\frac{1}{{{2^4}-1}}）+…+（\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+2}}-1}}）$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{{{2^{n+2}}-1}}＜\frac{1}{3}$． （12分）

點評 本題考查等比數(shù)列的判斷，考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．