【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)已知f(x)在定義域上為減函數(shù),若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0(k為常數(shù))恒成立.求k的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)f(x)是定義在R的奇函數(shù),所以f(﹣x)=﹣f(x)
令x=0,f(0)=﹣f(0),f(0)=0
令x=1,f(﹣1)=﹣f(1),
所以 ,
解得: ;
(Ⅱ)經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=2,b=1時(shí),f(x)為奇函數(shù).
所以f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)
因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(t2﹣2t)<f(k﹣2t2)
因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)減,所以t2﹣2t>k﹣2t2
即3t2﹣2t﹣k>0在R上恒成立,所以△=4+43k<0
所以k<﹣ ,即k的取值范圍是(﹣∞,﹣ )
【解析】(Ⅰ)利用奇函數(shù)定義f(﹣x)=﹣f(x)中的特殊值求a,b的值;(Ⅱ)首先確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性,然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知識(shí)求出k的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)將的圖象向右平移兩個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,設(shè),已知對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于命題P:存在一個(gè)常數(shù)M,使得不等式 對(duì)任意正數(shù)a,b恒成立.
(1)試給出這個(gè)常數(shù)M的值;
(2)在(1)所得結(jié)論的條件下證明命題P;
(3)對(duì)于上述命題,某同學(xué)正確地猜想了命題Q:“存在一個(gè)常數(shù)M,使得不等式 對(duì)任意正數(shù)a,b,c恒成立.”觀察命題P與命題Q的規(guī)律,請(qǐng)猜想與正數(shù)a,b,c,d相關(guān)的命題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,且經(jīng)過點(diǎn)M(﹣3,﹣1).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:x﹣y﹣2=0與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAB的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的最大面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,
(1)求圓C關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程;
(2)問是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得弦AB,且以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若將函數(shù)y=2sin(3x+φ)的圖象向右平移 個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于點(diǎn)( )對(duì)稱,則|φ|的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國(guó)科學(xué)院亞熱帶農(nóng)業(yè)生態(tài)研究所2017年10月16日正式發(fā)布一種水稻新種質(zhì),株高可達(dá)2.2米以上,具有高產(chǎn)、抗倒伏、抗病蟲害、酎淹澇等特點(diǎn),被認(rèn)為開啟了水稻研制的一扇新門.以下是兩組實(shí)驗(yàn)田中分別抽取的6株巨型稻的株高,數(shù)據(jù)如下(單位:米).
: 1.7 1.8 1.9 2.2 2.4 2.5
: 1.8 1.9 2.0 2.0 2.4 2.5
(1)繪制兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖,并求出組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和組數(shù)據(jù)的方差;
(2)從組樣本中隨機(jī)抽取2株,請(qǐng)列出所有的基本事件,并求至少有一株超過組株高平均值的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列 滿足 , 是數(shù)列 的前 項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ;
(2)令 ,求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓過, ,且圓心在直線上.
(Ⅰ)求此圓的方程.
(Ⅱ)求與直線垂直且與圓相切的直線方程.
(Ⅲ)若點(diǎn)為圓上任意點(diǎn),求的面積的最大值.
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