Question

【題目】已知函數(shù)將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)的圖象.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若方程在上有且僅有一個實根，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)與的圖象關于直線對稱，設，已知對任意的恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由圖象的平移可得g（x）的解析式；

（Ⅱ）設，問題轉化為在t∈[1，2]上有且僅有一個實根，通過分類討論的思想得到結果；

（Ⅲ）設，t∈（2，+∞）．問題轉化為t2﹣4at+4a＞0對任意t∈（2，+∞）恒成立，變量分離后構造函數(shù)，可得其最小值，進而可得答案．

試題解析：

（1）

（2）設,則，原方程可化為

于是只須在上有且僅有一個實根，

法1：設，對稱軸t=,則 ① ， 或 ②

由①得 ，即，

由②得 無解, ，則。

法2：由，得， ， ，

設，則， ，記，

則在上是單調函數(shù)，因為故要使題設成立，

只須，即，

從而有

（3）設的圖像上一點，點關于的對稱點為，

由點在的圖像上，所以，

于是 即. .

由，化簡得，設,即恒成立.

注意到t﹣1＞1，分離參數(shù)得對任意t∈（2，+∞）恒成立．

設, t∈（2，+∞）,即

而．

可證m（t）在（2，+∞）上單調遞增．

∴m（t）＞m（2）=4，

∴，即a∈（﹣∞，1]．