【題目】在直角坐標(biāo)平面上的一列點,簡記為.若由構(gòu)成的數(shù)列滿足,其中為方向與軸正方向相同的單位向量,則稱為點列.
(1)判斷,是否為點列,并說明理由;
(2)若為點列,且點在點的右上方.任取其中連續(xù)三點,判斷的形狀(銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形),并予以證明;
(3)若為點列,正整數(shù),滿足,求證:.
【答案】(1)是,理由詳見解析;(2)鈍角三角形,證明詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)新定義表示出數(shù)列的通項公式,利用作差法比較的大小即可判斷;
(2)由為點列得出的關(guān)系,利用兩點間距離公式表示出三角形的各邊長,可以分析得出最大角,結(jié)合余弦定理即可判斷;
(3)利用累加的方法可以得出即可證明結(jié)論.
(1) 為點列.理由如下:
由題意可知,,所以,,即數(shù)列滿足,所以為點列.
(2) 為鈍角三角形.理由如下:
由題意可知,,所以,因為為點列,所以,又點在點的右上方,所以所以對其中連續(xù)三點,都有又 所以,所以為最大角,由余弦定理得,故為鈍角,所以為鈍角三角形.
(3)證明:由(2)知,因為為點列,所以.又正整數(shù),滿足,所以不妨設(shè),則相加可得 同理可得,即又,所以.
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【題目】雙曲線C的漸近線方程為,一個焦點為F(0,﹣8),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____.已知點A(﹣6,0),若點P為C上一動點,且P點在x軸上方,當(dāng)點P的位置變化時,△PAF的周長的最小值為_____.
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【題目】在30瓶飲料中,有3瓶已過了保質(zhì)期.從這30瓶飲料中任取2瓶,則至少取到一瓶已過保質(zhì)期的概率為 _________ .(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)
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【題目】某段城鐵線路上依次有、、三站,,,在列車運行時刻表上,規(guī)定列車時整從站出發(fā),時分到達(dá)站并停車,時分到達(dá)站,在實際運行時,假設(shè)列車從站正點出發(fā),在站停留,并在行駛時以同一速度勻速行駛,列車從站到達(dá)某站的時間與時刻表上相應(yīng)時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差.
(1)分別寫出列車在、兩站的運行誤差;
(2)若要求列車在、兩站的運行誤差之和不超過,求的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與曲線的交線為直線.
(1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線與軸交于點,與曲線相交于,兩點,求的值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個極值點且恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】全民健身旨在全面提高國民體質(zhì)和健康水平,倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的健身活動,學(xué)會兩種以上健身方法,每年進行一次體質(zhì)測定.為響應(yīng)全民健身號召,某單位在職工體測后就某項健康指數(shù)(百分制)隨機抽取了30名職工的體測數(shù)據(jù)作為樣本進行調(diào)查,具體數(shù)據(jù)如莖葉圖所示,其中有1名女職工的健康指數(shù)的數(shù)據(jù)模糊不清(用x表示),已知這30名職工的健康指數(shù)的平均數(shù)為76.2.
(1)根據(jù)莖葉圖,求樣本中男職工健康指數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)根據(jù)莖葉圖,按男女用分層抽樣從這30名職工中隨機抽取5人,再從抽取的5人中隨機抽取2人,求抽取的2人都是男職工的概率;
(3)經(jīng)計算,樣本中男職工健康指數(shù)的平均數(shù)為81,女職工現(xiàn)有數(shù)據(jù)(即剔除x)健康指數(shù)的平均數(shù)為69,方差為190,求樣本中所有女職工的健康指數(shù)的平均數(shù)和方差(結(jié)果精確到0.1).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線.
(1)過的左頂點引的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;
(2)設(shè)斜率為1的直線l交于P,Q兩點,若l與圓相切,求證:;
(3)設(shè)橢圓,若M,N分別是,上的動點,且,求證:O到直線MN的距離是定值.
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