【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)的定義域?yàn)?/span>,對(duì)求導(dǎo),分、和三種情況,分別討論,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)由(1)知有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),等價(jià)于方程有兩個(gè)不等正根,可求得,,及,,由恒成立,可得恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可知,令即可.
(1)的定義域?yàn)?/span>,求導(dǎo)得,
令,得,,
若時(shí),,在上恒成立,單調(diào)遞增;
若時(shí),,方程的兩根為,.
當(dāng)時(shí),,,則時(shí),,故在單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,則或時(shí),,故在和上單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)由(1)知有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),等價(jià)于方程的有兩個(gè)不等正根
,,,,
此時(shí)不等式恒成立,等價(jià)于對(duì)恒成立,
可化為恒成立,
令,
則,
,,,
在恒成立,在上單調(diào)遞減,
,
.
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)的坐標(biāo)方程為,若直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切.
(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線(xiàn)上取兩點(diǎn)、于原點(diǎn)構(gòu)成,且滿(mǎn)足,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線(xiàn)l:mx-y+1-m=0(m∈R).
(1)判斷直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系;
(2)設(shè)直線(xiàn)l與圓C交于A,B兩點(diǎn),若直線(xiàn)l的傾斜角為120°,求弦AB的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中,且,是棱上的動(dòng)點(diǎn),是的中點(diǎn).
(1)當(dāng)是中點(diǎn)時(shí),求證:平面;
(2)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面與平面所成銳二面角為,若存在,求的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn) 與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)(0,1),且=,求直線(xiàn)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線(xiàn):的左、右焦點(diǎn)分別是、,左、右兩頂點(diǎn)分別是、,弦AB和CD所在直線(xiàn)分別平行于x軸與y軸,線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)與線(xiàn)段CD相交于點(diǎn)如圖).
⑴若是的一條漸近線(xiàn)的一個(gè)方向向量,試求的兩漸近線(xiàn)的夾角;
⑵若,,,,試求雙曲線(xiàn)的方程;
⑶在⑴的條件下,且,點(diǎn)C與雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)不重合,直線(xiàn)和直線(xiàn)與直線(xiàn)l:分別相交于點(diǎn)M和N,試問(wèn):以線(xiàn)段MN為直徑的圓是否恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,試說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地環(huán)保部門(mén)跟蹤調(diào)查一種有害昆蟲(chóng)的數(shù)量.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù),該昆蟲(chóng)的數(shù)量(萬(wàn)只)與時(shí)間(年)(其中)的關(guān)系為.為有效控制有害昆蟲(chóng)數(shù)量、保護(hù)生態(tài)環(huán)境,環(huán)保部門(mén)通過(guò)實(shí)時(shí)監(jiān)控比值(其中為常數(shù),且)來(lái)進(jìn)行生態(tài)環(huán)境分析.
(1)當(dāng)時(shí),求比值取最小值時(shí)的值;
(2)經(jīng)過(guò)調(diào)查,環(huán)保部門(mén)發(fā)現(xiàn):當(dāng)比值不超過(guò)時(shí)不需要進(jìn)行環(huán)境防護(hù).為確保恰好3年不需要進(jìn)行保護(hù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.(為自然對(duì)數(shù)的底, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形為平行四邊形,,為中點(diǎn),
(1)求證:平面;
(2)若是正三角形,且.
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上什么位置時(shí),有平面 ?
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,點(diǎn)在線(xiàn)段上什么位置時(shí),有平面平面?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間.
(2)試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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