【題目】已知圓M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）與曲線C：（y﹣2）（3x﹣4y+3）=0有三個不同的交點．
（1）求圓M的方程；
（2）已知點Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點． ①若 ，求|MQ|及直線MQ的方程；
②求證：直線AB恒過定點．

【答案】
（1）解：因為直線3x﹣4y+3=0與圓M相切，

故圓心（0，2）到直線的距離為r，即： ，r=1．

所以圓的方程為x2+（y﹣2）2=1．


（2）解：①設直線MQ，AB交于點P，則 ，

又|AM|=1，所以 ，

而|AM|2=|MP||MQ|，所以|MQ|=3，

設Q（x0，0），而點M（0，2），由 ， ，

則 或 ，

從而直線MQ的方程為： 或 ．

②證明：設點Q（q，0），由幾何性質可以知道，A，B在以MQ為直徑的圓上，

此圓的方程為x2+y2﹣qx﹣2y=0，AB為兩圓的公共弦，

兩圓方程相減得qx﹣2y+3=0，

即 ，

所以過定點 ．


【解析】（1）因為直線3x﹣4y+3=0與圓M相切，圓心（0，2）到直線的距離為r，即可求圓M的方程；（2）①|AM|2=|MP||MQ|，所以|MQ|=3，求出Q的坐標，即可求出直線MQ的方程；②求出直線AB的方程，即可證明直線AB恒過定點．

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（2）求圓C的方程；
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