【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD=2,∠DAB=60°,PA=PC=2,且平面ACP⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證:CB⊥PD;
(Ⅱ)求二面角C-PB-A的余弦值.
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
(1)證明PO⊥平面ABCD得出PO⊥BC,利用勾股定理證明,從而BC⊥平面PBD,于是BC⊥PD;
(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面PAB和平面PBC的法向量,通過計(jì)算法向量的夾角得出二面角的大。
解:(1)連,交于點(diǎn),連
由平面,平面.
又
又
又
,
又
(2)由(1)知,以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由(1)知,則軸.
由平面幾何知識易得,
則
于是,
設(shè)平面的法向量為.
則,即,
取,則,則
同理可求得平面的一個向量
于是
分析知二角面的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知棱,,兩兩垂直,長度分別為1,2,2.若(),且向量與夾角的余弦值為.
(1)求的值;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,過垂直于長軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn),且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在求出這個最大值及此時(shí)的直線方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面內(nèi)一動點(diǎn)()到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離的差等于1,
(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與軌跡相交于不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn),求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】手機(jī)給人們的生活帶來便捷,但同時(shí)也對中學(xué)生的生活和學(xué)習(xí)造成了嚴(yán)重的影響,某校高一幾個學(xué)生成立研究性學(xué)習(xí)小組,就使用手機(jī)對學(xué)習(xí)成績的影響隨機(jī)抽取了該校100名學(xué)生的期末考試成績并制成如下的表,則下列說法正確的是( )
成績優(yōu)秀 | 成績不優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
不用手機(jī) | 40 | 10 | 50 |
使用手機(jī) | 5 | 45 | 50 |
合計(jì) | 45 | 55 | 100 |
(附:列聯(lián)表公式:,其中)
0.010 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7.879 | 10.828 |
A.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為使用手機(jī)與學(xué)習(xí)成績有關(guān).
B.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為使用手機(jī)與學(xué)習(xí)成績無關(guān).
C.有的把握認(rèn)為使用手機(jī)對學(xué)習(xí)成績無影響.
D.無的把握認(rèn)為使用手機(jī)對學(xué)習(xí)成績有影響.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某不透明紙箱中共有4個小球,其中1個白球,3個紅球,它們除顏色外均相同.
(Ⅰ)一次從紙箱中摸出兩個小球,求恰好摸出2個紅球的概率;
(Ⅱ)每次從紙箱中摸出一個小球,記錄顏色后放回紙箱,這樣摸取4次,記得到紅球的次數(shù)為,求的分布列;
(Ⅲ)每次從紙箱中摸出一個小球,記錄顏色后放回紙箱,這樣摸取100次,得到幾次紅球的概率最大?只需寫出結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù),且滿足,又.
(1)求的值,猜想的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)設(shè),求的值;
(3)設(shè),是否存在最大的整數(shù),使得對任意,均有?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xex-alnx(無理數(shù)e=2.718…).
(1)若f(x)在(0,1)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=-1時(shí),設(shè)g(x)=x(f(x)-xex)-x3+x2-b,若函數(shù)g(x)存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的最大值.
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