Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）若過點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn).證明：點(diǎn)在定直線上.

（2）若，點(diǎn)在曲線上，的中點(diǎn)均在拋物線上，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1) 設(shè)，,設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，求出拋物線在點(diǎn)處的切線方程，和在點(diǎn)處的切線方程，聯(lián)立可得答案.
(2) 設(shè)，的中點(diǎn)分別為，,可得，，軸，，

，的面積，從而可求出三角形的面積的范圍.

（1）證明：易知，設(shè)，.

由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)其方程為.

由，得，所以.

由，得，，則，

直線的方程為，即，①

同理可得直線的方程為，②

聯(lián)立①②，可得.

因?yàn)?/span>，所以，故點(diǎn)在定直線上.

（2）解：設(shè)，的中點(diǎn)分別為，.

因?yàn)?/span>得中點(diǎn)均在拋物線上，所以為方程的解，

即方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，

則，，，

即，

所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則軸.

則

，

，

所以的面積.

由，得，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以面積的取值范圍為.