Question

已知函數f（x）=x³+2x²-ax，對于任意實數x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，
（1）求實數a的取值范圍；
（2）當a最大時，關于x的方程f（x）=k+x有三個不同的根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導函數得：f′（x）=3x²+4x-a，對于任意實數x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，即3x²+4x-a≥2x²+2x-4在R上恒成立，即x²+2x-a+4≥0在R上恒成立，從而可求實數a的取值范圍；
（2）當a=3時，關于x的方程f（x）=k+x有三個不同的根，即k=x³+2x²-4x有三個不同的根，令g（x）=x³+2x²-4x，求出函數的極值，即可得出結論．

解答： 解：（1）求導函數得：f′（x）=3x²+4x-a，
對于任意實數x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，
即3x²+4x-a≥2x²+2x-4在R上恒成立，
即x²+2x-a+4≥0在R上恒成立，
∴△=4+4a-16≤0
∴a≤3．
（2）當a=3時，關于x的方程f（x）=k+x有三個不同的根，即k=x³+2x²-4x有三個不同的根
令g（x）=x³+2x²-4x，則g′（x）=3x²+4x-4
令g′（x）=0解得x₁=-2，x₂=

2

3

x，g′（x），g（x）情況如下表：

x	x→-∞	（-∞，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，+∞）	x→+∞
g′（x）		+	0	-	0	+
g（x）	g（x）→-∞	單調遞增	極大值	單調遞減	極小極	單調遞增	g（x）→+∞

由上表知，當x=-2時g（x）取得極大值g（-2）=8，當x=

2

3

時g（x）取得極小值g（

2

3

）=-

40

27

，
綜上可知，實數k的取值范圍為（-

40

27

，8）．

點評：本題重點考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查方程根的討論，考查數形結合的數學思想，綜合性強．