Question

已知函數f（x）=

2-lnx

x+1

，對函數f（x）定義域內的任意x，都有xf（x）＜m恒成立，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A、（1，+∞）
• B、（-∞，1）
• C、（6，+∞）
• D、不確定

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：導數的綜合應用

分析：把f（x）的解析式代入xf（x）＜m，分離變量m，構造函數g(x)=

2x-xlnx

x+1

，求其導函數g′(x)=

1-x-lnx

(x+1)2

再令h（x）=1-x-lnx，由其導函數的符號分析得到g′（x）在定義域內不同區(qū)間內的符號，最后得到函數
g（x）的單調性，求出最值，則答案可求．

解答： 解：f（x）=

2-lnx

x+1

，由xf（x）＜m，得

2x-xlnx

x+1

＜m（x＞0），
令g(x)=

2x-xlnx

x+1

，則g′(x)=

1-x-lnx

(x+1)2

，
再令h（x）=1-x-lnx，則h′(x)=-1-

1

x

＜0，
故h（x）在（0，+∞）上是減函數．
當0＜x＜1時，h（x）＞h（1）=0，
當x＞1時，h（x）＜h（1）=0，
從而當0＜x＜1時，g′（x）＞0，
當x＞1時，g′（x）＜0．
故當0＜x＜1時，g（x）單調遞增，
當x＞1時，g（x）單調遞減．
∴g（x）_max=g（1）=1．
∴要使

2x-xlnx

x+1

＜m成立，只需m＞1．
故選：A．

點評：本題考查了恒成立問題，考查了綜合利用導數研究函數的單調性和最值，考查了數學轉化思想方法，是壓軸題．