【題目】(本小題滿分13分)
已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)證明: 在區(qū)間上恰有個零點.
【答案】(1)(2)詳見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)當時, ,求出的值可得切點坐標,求出的值可得切線斜率,由點斜式可得曲線在點處的切線方程;(Ⅱ)求出導函數(shù).由 ,得 .根據(jù)零點存在定理可得存在唯一的, 使得 , 在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.可證明,從而可得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)當時, ,
所以 .
因為 , ,
所以曲線在點處的切線方程為.
(Ⅱ).
由 ,得 .
因為 ,所以.
當 時, 由 , 得 .
所以 存在唯一的, 使得 .
與在區(qū)間上的情況如下:
↗ | 極大值 | ↘ |
所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
因為 ,
且 ,
所以 在區(qū)間上恰有2個零點.
【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出在處的導數(shù),即在點 出的切線斜率(當曲線在處的切線與軸平行時,在 處導數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點斜式求得切線方程.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(導學號:05856312)[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x-m|-2|x-1|(m∈R).
(Ⅰ)當m=3時,求函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅱ)解關(guān)于x的不等式f(x)≥0.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線的焦點為,橢圓的中心在原點,為其右焦點,點為曲線和在第一象限的交點,且.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設為拋物線上的兩個動點,且使得線段的中點在直線上,
為定點,求面積的最大值.
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【題目】老師在四個不同的盒子里面放了4張不同的撲克牌,分別是紅桃,梅花,方片以及黑桃,讓明、小紅、小張、小李四個人進行猜測:
小明說:第1個盒子里面放的是梅花,第3個盒子里面放的是方片;
小紅說:第2個盒子里面飯的是梅花,第3個盒子里放的是黑桃;
小張說:第4個盒子里面放的是黑桃,第2個盒子里面放的是方片;
小李說:第4個盒子里面放的是紅桃,第3個盒子里面放的是方片;
老師說:“小明、小紅、小張、小李,你們都只說對了一半.”則可以推測,第4個盒子里裝的是( )
A. 紅桃或黑桃 B. 紅桃或梅花
C. 黑桃或方片 D. 黑桃或梅花
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在底面是菱形的四棱錐中, 平面, ,點分別為的中點,設直線與平面交于點.
(1)已知平面平面,求證: .
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設f(x)是定義在區(qū)間(-∞,+∞)上且以2為周期的函數(shù),對k∈Z,用Ik表示區(qū)間(2k-1,2k+1),已知當x∈I0時,f(x)=x2.求f(x)在Ik上的解析式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(0)=0,當x>0時,
f(x)=.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x2-1)>-2.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直角梯形中, , , , 、分別是邊、上的點,且,沿將折起并連接成如圖的多面體,折后.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)若折后直線與平面所成角的正弦值是,求證:平面平面.
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