Question

【題目】設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(－∞，＋∞)上且以2為周期的函數(shù)，對k∈Z，用Ik表示區(qū)間(2k－1,2k＋1)，已知當(dāng)x∈I0時(shí)，f(x)＝x2.求f(x)在Ik上的解析式．

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：先根據(jù)周期將所求區(qū)間Ik轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間I0,再代入解析式中即得Ik上的解析式．

試題解析：設(shè)x∈(2k－1,2k＋1)k∈Z，∴2k－1<x<2k＋1,即－1<x－2k<1，

∵x∈I0時(shí)，有f(x)＝x2，∴由－1<x－2k<1得f(x－2k)＝(x－2k)2 ，

∵f(x)是以2為周期的函數(shù)，∴f(x－2k)＝f(x)，

∴f(x)＝(x－2k)2，k∈Z.

點(diǎn)睛:函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用(1)判定：判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．