【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+ (ab≠0).
(1)當(dāng)b=a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在點(2,f(2))處的切線方程是y=2x﹣3,證明:曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求出此定值.
【答案】
(1)解:當(dāng)b=a=1時,f(x)=x+ ,
導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1﹣ = ,
由f′(x)>0,可得x>2或x<0;
由f′(x)<0,可得0<x<1或1<x<2.
則f(x)的增區(qū)間為(﹣∞,0),(2,+∞);
減區(qū)間為(0,1),(1,2)
(2)證明:函數(shù)f(x)=ax+ 的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=a﹣ ,
由曲線在點(2,f(2))處的切線方程是y=2x﹣3,
可得a﹣b=2,f(2)=2a+b=1,
解得a=1,b=﹣1,
即有f(x)=x﹣ ,
在曲線上任取一點(x0,x0﹣ ).
由f′(x0)=1+ ,
過此點的切線方程為y﹣x0+ =[1+ ](x﹣x0),
令x=1得y= ,切線與直線x=1交點為(1, ),
令y=x得y=2x0﹣1,切線與直線y=x交點為(2x0﹣1,2x0﹣1),
直線x=1與直線y=x的交點為(1,1).
從而所圍三角形的面積為 | ﹣1||2x0﹣1﹣1|= | ||2x0﹣2|=2.
所以所圍三角形的面積為定值2
【解析】(1)求出b=a=1時,函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間,注意定義域;(2)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率和切點,由已知切線的方程,可得a=1,b=﹣1,再設(shè)曲線上任取一點(x0 , x0﹣ ).求得切線的方程,令x=1,y=x求得交點,運用三角形的面積公式,化簡整理,即可得到定值.
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=aex+ +b(a>0).
(1)求f(x)在[0,+∞)上的最小值;
(2)設(shè)曲線y=f(x)在點(2,f(2))的切線方程為3x﹣2y=0,求a、b的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) f(x)=sin2x+ sinxcosx+ ,x∈R,
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T及在[﹣π,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)+k=0,在區(qū)間[0, ]上且只有一個實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若以曲線上任意一點為切點作切線,曲線上總存在異于的點,以點為切點作切線,且,則稱曲線具有“可平行性”,現(xiàn)有下列命題:
①函數(shù)的圖象具有“可平行性”;
②定義在的奇函數(shù)的圖象都具有“可平行性”;
③三次函數(shù)具有“可平行性”,且對應(yīng)的兩切點, 的橫坐標(biāo)滿足;
④要使得分段函數(shù)的圖象具有“可平行性”,當(dāng)且僅當(dāng).
其中的真命題個數(shù)有()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的,底面邊長是側(cè)棱長2倍,D、E是A1C1、AC的中點,則下面判斷不正確的為( )
A.直線A1E∥平面B1DC
B.直線AD⊥平面B1DC
C.平面B1DC⊥平面ACC1A1
D.直線AC與平面B1DC所成的角為60°
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知已知圓 經(jīng)過 、 兩點,且圓心C在直線 上,求解:(1)圓C的方程;(2)若直線 與圓 總有公共點,求實數(shù) 的取值范圍.
(1)求圓C的方程;
(2)若直線 與圓 總有公共點,求實數(shù) 的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x﹣m|﹣1(m為實數(shù))為偶函數(shù),記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a<b<c
B.c<a<b
C.a<c<b
D.c<b<a
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)A,B是x軸上的兩點,點P的橫坐標(biāo)為2,且|PA|=|PB|,若直線PA的方程為x-y+1=0,則直線PB的方程是( ).
A.x+y-5=0
B.2x-y-1=0
C.2y-x-4=0
D.2x+y-7=0
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點P是CD上的動點,則直線B1P與直線BC1所成的角等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com