【題目】若以曲線上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)作切線,曲線上總存在異于的點(diǎn),以點(diǎn)為切點(diǎn)作切線,且,則稱曲線具有“可平行性”,現(xiàn)有下列命題:
①函數(shù)的圖象具有“可平行性”;
②定義在的奇函數(shù)的圖象都具有“可平行性”;
③三次函數(shù)具有“可平行性”,且對(duì)應(yīng)的兩切點(diǎn), 的橫坐標(biāo)滿足;
④要使得分段函數(shù)的圖象具有“可平行性”,當(dāng)且僅當(dāng).
其中的真命題個(gè)數(shù)有()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】由“可平行性”的定義,可得曲線y=f(x)具有“可平行性”,則方程y′=a(a是導(dǎo)數(shù)值)至少有兩個(gè)根。
①函數(shù)y=(x2)2+lnx,則y′=2(x2)+ = (x>0),方程,即2x2(4+a)x+1=0,當(dāng)時(shí)有兩個(gè)相等正根,不符合題意;
②定義在(∞,0)∪(0,+∞)的奇函數(shù),如y=x3, 則,方程,當(dāng)時(shí)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,不符合題意;
③三次函數(shù)f(x)=x3x2+ax+b,則f′(x)=3x22x+a,滿足題意時(shí), 的一元二次方程的實(shí)數(shù)根,即,命題③正確;
④函數(shù)y=ex1(x<0),y′=ex∈(0,1),
函數(shù)y=x+1x,y′=11x2=x21x2=11x2,由11x2∈(0,1),得1x2∈(0,1),∴x>1,則m=1.
故要使得分段函數(shù)的圖象具有“可平行性”,
當(dāng)時(shí), ,且導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí), 的值域應(yīng)該是,
結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的平移性質(zhì)可得導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增,且, ,據(jù)此可得m=1.
真命題個(gè)數(shù)為2個(gè).
本題選擇B選項(xiàng).
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【題目】某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié),則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為(用數(shù)字作答).
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【題目】在直角坐標(biāo)系中, 已知定圓,動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓相切,記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)是曲線上兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為 (異于點(diǎn)),若直線分別交軸于點(diǎn),證明: 為定值.
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【題目】如圖,臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向(北偏東)移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心不超過300千米的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)域.城市B在A地的正東400千米處.請(qǐng)建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,解決以下問題:
(1) 求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在的直線方程;
(2)求城市B處于危險(xiǎn)區(qū)域的時(shí)間是多少小時(shí)?
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【題目】某小區(qū)一住戶在樓頂違規(guī)私自建了“陽光房”,該小區(qū)其他居民對(duì)此意見很大,通過物業(yè)和城管部門多次上門協(xié)調(diào),該住戶終于拆除了“陽光房”,對(duì)此有人認(rèn)為既然已經(jīng)建成再拆除太可惜了,為此業(yè)主委員會(huì)通過隨機(jī)詢問小區(qū)100名性別不同的居民對(duì)此件事情的看法,得到如下的2×2列聯(lián)表
認(rèn)為應(yīng)該拆除 | 認(rèn)為太可惜了 | 總計(jì) | |
男 | 45 | 10 | 55 |
女 | 30 | 15 | 45 |
總計(jì) | 75 | 25 | 100 |
附:
P(K2≥k) | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
K2= ,其中n=a+b+c+d
參照附表,由此可知下列選項(xiàng)正確的是( )
A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為“是否認(rèn)為拆除太可惜了與性別有關(guān)”
B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為“是否認(rèn)為拆除太可惜了與性別無關(guān)”
C.有90%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)為拆除太可惜了與性別有關(guān)”
D.有90%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)為拆除太可惜了與性別無關(guān)”
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+ (ab≠0).
(1)當(dāng)b=a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程是y=2x﹣3,證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求出此定值.
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【題目】學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,在全校高一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如表所示:
喜歡數(shù)學(xué) | 不喜歡數(shù)學(xué) | 合計(jì) | |
男生 | 60 | 20 | 80 |
女生 | 10 | 10 | 20 |
合計(jì) | 70 | 30 | 100 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有95%的把握認(rèn)為“男生和女生在喜歡數(shù)學(xué)方面有差異”;
(2)在被調(diào)查的女生中抽出5名,其中2名喜歡數(shù)學(xué),現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求至多有1人喜歡數(shù)學(xué)的概率.
附:參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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