Question

f（x）為偶函數(shù)且在（0，+∞）單調(diào)遞增，求方程f（2x）=f（

x+1

x+4

）的所有根之和．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）為偶函數(shù)推出f（-x）=f（x），x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)，推出f（x）不是周期函數(shù)．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解

解答： 解：∵f（x）為偶函數(shù)，
∴（2x）=f（-2x）
∵當(dāng)x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)，
又滿足f(2x)=f(

x+1

x+4

)，
∴2x=

x+1

x+4

或-2x=

x+1

x+4

，
可得，2x²+7x-1=0或2x²+9x+1=0，兩個(gè)方程都有解．
∴x₁+x₂=-

7

2

或x₃+x₄=-

9

2

，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-

7

2

-

9

2

=-8，
故方程的所有根之和為-8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性與方程根的聯(lián)系，屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．