(2013•天津)已知函數(shù)f(x)=x2lnx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:對任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s).
(3)設(2)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s=g(t),證明:當t>e2時,有
(1)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,),單調(diào)遞增區(qū)間為( ,+∞)
(2)見解析    (3)見解析
(1)由題意可知函數(shù)的定義域為(0,+∞),
求導數(shù)可得f′(x)=2xlnx+x2=2xlnx+x=x(2lnx+1),
令f′(x)=0,可解得x=,
當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
 x
(0,

,+∞)
 f′(x)

 0
+
 f(x)
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,),單調(diào)遞增區(qū)間為( ,+∞)
(2)證明:當0<x≤1時,f(x)≤0,設t>0,令h(x)=f(x)﹣t,x∈[1,+∞),
由(1)可知,h(x)在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,h(1)=﹣t<0,h(et)=e2tlnet﹣t=t(e2t﹣1)>0,
故存在唯一的s∈(1,+∞),使得t=f(s)成立;
(3)證明:因為s=g(t),由(2)知,t=f(s),且s>1,
從而====,其中u=lns,
要使成立,只需,
即2<,即2<2+,
只需,變形可得只需0<lnu<,
當t>e2時,若s=g(t)≤e,則由f(s)的單調(diào)性,有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾,
所以s>e,即u>1,從而lnu>0成立,
另一方面,令F(u)=lnu﹣,u>1,F(xiàn)′(u)=,
令F′(u)=0,可解得u=2,
當1<u<2時,F(xiàn)′(u)>0,當u>2時,F(xiàn)′(u)<0,
故函數(shù)F(u)在u=2處取到極大值,也是最大值F(2)=ln2﹣1<0,
故有F(u)=lnu﹣<0,即lnu<,
綜上可證:當t>e2時,有成立.
練習冊系列答案
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.
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已知                    

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