Question

已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；
(3)若，使成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

(1) 單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是;(2); (3)．

試題分析：(1)對求導(dǎo)函數(shù)后，解不等式可得單調(diào)區(qū)間；（2）由題知在上恒成立，即，可得，所以得的取值范圍；（3）原命題等價于當(dāng)時，有對進(jìn)行討論，利用函數(shù)單調(diào)性可得的范圍．
解：由已知函數(shù)的定義域均為,且．  1分
(1)函數(shù),
當(dāng)且時,;當(dāng)時,．
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是．  3分
(2)因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．
所以當(dāng)時，．
又，
故當(dāng)，即時，．
所以于是，故a的最小值為．  6分
(3)命題“若使成立”等價于
“當(dāng)時，有”．       
由（Ⅱ），當(dāng)時，，．
問題等價于：“當(dāng)時，有”．     8分
當(dāng)時，由（Ⅱ），在上為減函數(shù)，
則=，故．     
當(dāng)時，由于在上為增函數(shù)，
故的值域為，即．
(i)若，即，在恒成立，故在上為增函數(shù)，
于是，=，不合題意．        10分
(ii)若，即，由的單調(diào)性和值域知，
唯一，使，且滿足：
當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；
所以，=，．
所以，，與矛盾，不合題意．
綜上，得．                   14分