Question

已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且點(diǎn)，滿足條件：.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求證：點(diǎn)，，是三個(gè)不同的點(diǎn)，且構(gòu)成直角三角形．

Answer 1

（1）；（2）（�。�；（ⅱ）參考解析

試題分析：（1）由函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并計(jì)算即所求切線方程的斜率，又過點(diǎn).即可求出結(jié)論.
（2）（�。┯桑�1）得到的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)，即得到的值.
（ⅱ）需求證：點(diǎn)，，是三個(gè)不同的點(diǎn)，通過分類每兩個(gè)點(diǎn)重合，利用已知條件即方程的根的個(gè)數(shù)來判定即可得到三點(diǎn)是不同點(diǎn)的點(diǎn).通過向量的數(shù)量積可得到三點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形.
（1），                                    2分
，又，                                  4分
所以曲線在處的切線方程為，
即．                                               5分
（2）（�。�對于，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050434772405.png" style="vertical-align:middle;" />．
當(dāng)時(shí)，，，∴；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，∴，                 8分
所以存在唯一的極值點(diǎn)，∴，則點(diǎn)為．                9分
（ⅱ）若，則，，
與條件不符，從而得．
同理可得．                                      10分
若，由，此方程無實(shí)數(shù)解，
從而得．                                       11分
由上可得點(diǎn)，，兩兩不重合．
又


從而，點(diǎn)，，可構(gòu)成直角三角形．                   14分