如圖,四棱柱ABCD—A
1B
1C
1D
1的底面邊長和側(cè)棱長都等于2,平面A
1ACC
1⊥平面ABCD,∠ABC=∠A
1AC=60°,點O為底面對角線AC與BD的交點.
(Ⅰ)證明:A
1O⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角D—A
1A—C的平面角的正切值.
(Ⅰ)由已知AB=BC=2,∠ABC=60°,則
△ ABC為正三角形,所以AC=2.
△ 因為點O為AC的中點,則AO=1.
又AA
1=2,∠A
1AO=60°,
在△A
1OA中,由余弦定理,得
.
所以A
1O
2+AO
2=AA
12,所以A
1O⊥AC.
因為平面AA
1C
1C⊥平面ABCD,其交線為AC,
所以A
1O⊥平面ABCD.
(Ⅱ)因為底面ABCD為菱形,則BD⊥AC.又BD⊥A
1O,則BD⊥平面A
1ACC
1.
過點O作OE⊥AA
1垂足為E,連接DE,則AA
1⊥DE,
所以∠DEO為二面角D-AA
1-C的平面角.
在Rt△AOD中,OD=
.
在Rt△AEO中,OE=AO·sin∠EAO=
.
在Rt△DOE中,tan∠DEO=
.
故二面角D—A
1A—C的平面角的正切值為2.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分)已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的
底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F為棱BB1的中點,
M為線段AC1的中點. (1)求證:直線MF∥平面ABCD;
(2)求證:平面AFC1⊥平面ACC1A1;
(3)求平面AFC1與與平面ABCD所成二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知長方體ABCD—A
1B
1C
1D
1中,AB=BC=4,AA
1=8,E、F分別為AD和CC
1的中點,O
1為下底面正方形的中心。
(Ⅰ)證明:AF⊥平面FD
1B
1;
(Ⅱ)求異面直線EB與O
1F所成角的余弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐
P-
ABCD的底面是矩形,側(cè)面
PAD是正三角形,且側(cè)面
PAD⊥底面
ABCD,
E為側(cè)棱
PD的中點.
(I)試判斷直線
PB與平面
EAC的關(guān)系
(文科不必證明,理科必須證明);
(II)求證:
AE⊥平面
PCD;
(III)若
AD=
AB,試求二面角
A-
PC-
D的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在五棱錐
中,
,
.
(1)求證:
;
(2)求點E到面SCD的距離;
(3)求二面角
的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖3所示,在直三棱柱
中,
,
,
,
.
(Ⅰ)證明:
平面
;
(Ⅱ)若
是棱
的中點,在棱
上是否存在一點
,使
平面
?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知直角梯形
中,
,
過
作
,垂足為
,
分別為
的中點,現(xiàn)將
沿
折疊使二面角
的平面角的正切值為
.
(1)求證:
平面
;
(2)求異面直線
與
所成的角的余弦值;
(3)求二面角
的大。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)
為互不重合的平面,
為互不重合的直線,給出下列四個命題:]
①若
則
;
②若
,則
;
③若
則
④若
則
其中所有正確命題的序號是( )
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