Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝xex，g（x）＝a（lnx+x）.

（1）當(dāng)a＝e時(shí)，求證：f（x）≥g（x）恒成立；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求證：f（x）≤g（x）+1恒有解.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）令，，求導(dǎo)后即可得證；

（2）構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，h（x）最小值不大于1即可，利用導(dǎo)數(shù)求最值直接證明即可．

證明：（1）當(dāng)a＝e時(shí)，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝xex﹣e（lnx+x），x＞0，則，

由h′（x）＝0得x＝1，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，h（x）取得最小值，即h（x）≥h（1）＝0，

∴f（x）≥g（x）；

（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝xex﹣a（lnx+x），則，

令m（x）＝xex﹣a（x＞0），則m′（x）＝（x+1）ex＞0，

∴m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∵a＞0，

∴m（0）＝﹣a＜0，m（a）＝aea﹣a＞0，

因此存在x0∈（0，a），使得，

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，m（x）＜0，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，m（x）＞0，h′（x）＞0，

∴當(dāng)x＝x0時(shí)，h（x）取最小值，，

令s（a）＝a（1﹣lna），a＞0，s′（a）＝﹣lna，當(dāng)a＞1時(shí)，s′（a）＜0，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，s′（a）＞0，

所以當(dāng)a＝1時(shí)，s（a）取得最大值，即s（a）≤s（1）＝1，

∴f（x）≤g（x）+1恒有解.