Question

【題目】已知橢圓：，，分別是橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上異于點(diǎn)，的點(diǎn)，若的邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．

寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

當(dāng)直線的一個(gè)方向向量是時(shí)，求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

設(shè)點(diǎn)R滿足：，，求證：與的面積之比為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

由是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形得，進(jìn)一步求得，則橢圓方程可求；

由直線的一個(gè)方向向量是，可得直線所在直線的斜率，得到直線的方程，由橢圓方程聯(lián)立，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，得到的中點(diǎn)坐標(biāo)，再求出，可得以為直徑的圓的半徑，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；

方法一、設(shè)，求出直線的斜率，進(jìn)一步得到直線的斜率，得到直線的方程，同理求得直線的方程，聯(lián)立兩直線方程求得R的橫坐標(biāo)，再結(jié)合在橢圓上可得與的關(guān)系，由求解；

方法二、設(shè)直線，的斜率為k，得直線的方程為結(jié)合，可得直線的方程為，把與橢圓方程聯(lián)立可得，再由在橢圓上，得到，從而得到，得結(jié)合，可得直線的方程為與線的方程聯(lián)立求得再由求解．

解：如圖，由的邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，得，且．

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

解：直線的一個(gè)方向向量是，

直線所在直線的斜率，則直線的方程為，

聯(lián)立，得，

解得，．

則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，．

則以為直徑的圓的半徑．

以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

證明：方法一、設(shè)，

直線的斜率為，由，得直線的斜率為．

于是直線的方程為：．

同理，的方程為：．

聯(lián)立兩直線方程，消去y，得．

在橢圓上，

，從而．

，

．

方法二、設(shè)直線，的斜率為k，，則直線的方程為．

由，直線的方程為，

將代入，得，

是橢圓上異于點(diǎn)，的點(diǎn)，，從而．

在橢圓上，

，從而．

，得．

，直線的方程為．

聯(lián)立，解得，即．

．