已知橢圓E:
x2
4
+y2=1
,橢圓E的內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別經(jīng)過它的兩個(gè)焦點(diǎn)(如圖),則這個(gè)平行四邊形面積的最大值是______.
根據(jù)橢圓E方程,可得焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-
3
,0
),F(xiàn)2
3
,0

設(shè)橢圓E的內(nèi)接平行四邊形為四邊形ABCD,如圖所示
直線AB方程為y=k(x+
3
),直線CD方程為y=k(x-
3
),
則由
x2
4
+y2=1
y=k(x+
3
)
消去y,得(1+4k2)x-8
3
k2x+4(3k2-1)=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),可得
x1+x2=
8
3
k2
1+4k2
x1x2=
4(3k2-1)
1+4k2

由此可得|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
1+k2
1+4k2

∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
4(1+k2)
1+4k2

由平行線之間的距離公式,得直線AB、CD的距離為d=
2
3
|k|
1+k2

因此,平行四邊形ABCD的面積S=|AB|×d=8
3
k2(1+k2)
(1+4k2)2

令t=
k2(1+k2)
(1+4k2)2
=
(
1
4
+k2)2
(1+4k2)2
+
1
2
k
2
-
1
16
(1+4k2)2
=
1
16
+
1
2
k
2
-
1
16
(1+4k2)2

再令
1
2
k2-
1
16
=s,顯然當(dāng)k2
1
8
時(shí),s>0,t=
1
16
+
1
2
k
2
-
1
16
(1+4k2)2
1
16
,此時(shí)可取到最大值.
∵t=
1
16
+
s
64s2+24s+
9
4
=
1
16
+
1
24+(64s+
9
4s
)
1
16
+
1
24+2
64s×
9
4s
=
1
12

∴平行四邊形ABCD的面積S=8
3
t
8
3
×
1
12
=4,
當(dāng)且僅當(dāng)k=±
2
2
時(shí),平行四邊形ABCD的面積S取得最大值為4
故答案為:4
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
x2
2
+
y2
m
=1
的離心率e=
1
2
,則m=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
8
+
y2
4
=1
的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),|PF1|•|PF2|=5,則cos∠F1PF2等于( 。
A.-
3
5
B.-
1
10
C.
1
10
D.
3
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 。
A.
13
,0)
B.(±3,0)C.
5
,0)
D.(±2,0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

由半橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(x≥0)與半橢圓
x2
b2
+
y2
c2
=1
(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”,如圖所示,其中a2=b2+c2,a>b>c>0.由右橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(x≥0)的焦點(diǎn)F0和左橢圓
x2
b2
+
y2
c2
=1
(x≤0)的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2確定的△F0F1F2叫做果圓的焦點(diǎn)三角形,若果圓的焦點(diǎn)三角形為銳角三角形,則右橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(x≥0)的離心率的取值范圍為( 。
A.(
1
3
,1)
B.(
2
3
,1)
C.(
3
3
,1)
D.(0,
3
3
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-
3
,0),(
3
,0)
,離心率是
3
2
,則橢圓C的方程為( 。
A.
x2
2
+y2=1
B.
x2
4
+y2=1
C.x2+
y2
2
=1
D.x2+
y2
4
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

P為橢圓
x2
25
+
y2
16
=1上一點(diǎn),M.N分別是圓(x+3)2+y2=4和(x-3)2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的取值范圍是( 。
A.[7,13]B.[10,15]C.[10,13]D.[7,15]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

橢圓
x2
16
+
y2
4
=1
上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線2x-2y-3=0對稱,則弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(  )
A.(-1,
1
2
)
B.(
1
2
,-1)
C.(
1
2
,2)
D.(2,
1
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
4
+y2=1
的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且
PF1
PF2
=0
,則△F1PF2的面積為______.

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同步練習(xí)冊答案