如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點E為棱AB的中點．
求：
（1）D1E與平面BC1D所成角的正弦值；
（2）二面角D-BC1-C的余弦值．
（1）如圖

延長EB至F使BF=1，連接C1F，則C1F∥D1E，則C1F與平面BC1D所成角等于D1E與平面BC1D所成角，設(shè)為θ，
設(shè)F到BC1D的距離為h．，則VC1-DBF=V F-C1BD∴
1
3
S△DBF×CC1=
1
3
S△DBC1×h，S△DBF=
1
2
×BF×DA=1，
S△DBC1=
3
4
×8=2
3
，∴h=
3
3
，sinθ=
h
C1F
═
h
D1E
=
3
3
3
=
3
9

（2）取BC1的中點H，連接DH，CH，∵△DBC1為正三角形，BCC1為等腰直角三角形，∴DH⊥BC 1，CH⊥BC 1
∴∠DHC為二面角D-BC1-C的平面角，設(shè)為β，在△DHC中，cosβ=
DH2+HC2-CD2
2DH×HC
=
6+2-4
2
6×
2
=
3
3



練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖：在直三棱柱ABC-DEF中，AB=2，AC=AD=2
3
，AB⊥AC，
（1）證明：AB⊥DC，
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是AC與BD的交點，M是CC1的中點．
（1）求證：A1P⊥平面MBD；
（2）求直線B1M與平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（理科做）（1）證明：面APC⊥面BEF；
（2）求平面PBC與平面PCD夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

正四棱錐的底面積為Q，側(cè)面積為P，側(cè)面與底面所成的二面角為α，則cosα=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，高為1，過頂點A作一平面α與側(cè)面BCC1B1交于EF，且EF∥BC．若平面α與底面ABC所成二面角的大小為x(0＜x≤
π
6
)，四邊形BCEF面積為y，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是（　　）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，點M、N分別為BC、PA的中點，且PA=AB=2．
（1）證明：BC⊥AMN；
（2）在線段PD上是否存在一點E，使得MN∥面ACE？若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由．
（3）求二面角A-PD-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=2，CD=
5
，則二面角α-l-β的余弦值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD把這個長方體截成兩個幾何體：
（Ⅰ）設(shè)幾何體（1）、幾何體（2）的體積分為是V1、V2，求V1與V2的比值；
（Ⅱ）在幾何體（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

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