如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是AC與BD的交點(diǎn),M是CC1的中點(diǎn).
(1)求證:A1P⊥平面MBD;
(2)求直線B1M與平面MBD所成角的正弦值;
(3)求平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值.
(1)證明:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),向量
DA
,
DC
,
DD1
為單位正交基向量,
建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則P(
1
2
,
1
2
,0),M(0,1,
1
2
).
A1P
=(-
1
2
,
1
2
,-1),
DB
=(1,1,0),
DM
=(0,1,
1
2
),所以
A1p•
DB
=0,
A1p•
DM
=0.
所以
A1p
DB
,
A1p
DM

又因?yàn)锽D∩DM=D,所以A1P⊥平面MBD;
(2)由(1)可知,可取
n
=(1,-1,2)為平面MBD的一個(gè)法向量.
.
B1M
=(-1,0,-
1
2
),
所以cos<
n
,
AM
>=-
2
5
5

所以直線AM與平面MBD所成角的正弦值為
2
5
5

(3)
AB
=(0,1,0),
BM
=(-1,0,
1
2
).
設(shè)
n
1=(x,y,z)為平面ABM的一個(gè)法向量,則
n1
AB
=0
n1
BM
=0

解得
y=0
-x+
1
2
z=0
y=0
z=2x
,故可取
n
1=(1,0,2).
由(1)可知,可取
n
=(1,-1,2)為平面MBD的一個(gè)法向量.
所以cos<
n
,
n
1>=
1+4
5
×
6
=
30
6

所以平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值為
30
6

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形,側(cè)面PAD是等邊三角形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).
(1)求證:BE平面PAD;
(2)求證:BE⊥CD;
(3)求BD與平面PDC所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論中正確的是______.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上)
①BD平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1
③AC1與底面ABCD所成角的正切值是
2
;
④二面角C-B1D1-C1的正切值是
2
;
⑤過(guò)點(diǎn)A1與異面直線AD與CB1成70°角的直線有2條.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示.

(1)求這個(gè)四棱錐的全面積及體積;
(2)求證:PA⊥BD;
(3)在線段PD上是否存在一點(diǎn)Q,使二面角Q-AC-D的平面角為30°?若存在,求
|DQ|
|DP|
的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

正四棱錐相鄰二側(cè)面形成的二面角為θ,則θ的取值范圍是( 。
A.(0,
π
2
B.(
π
3
π
2
C.(
π
4
,
π
3
D.(
π
2
,π)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),PA=2,PD=AB,且平面MND⊥平面PCD.
(1)求證:MN⊥AB;
(2)求二面角P-CD-A的大;
(3)求三棱錐D-AMN的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱與底面成角為60°,過(guò)底面一邊作一截面使其與底面成30°的二面角,則此截面的面積為(  )
A.
3
4
a2
B.
3
3
a2
C.
1
3
a2
D.
3
8
a2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).
求:
(1)D1E與平面BC1D所成角的正弦值;
(2)二面角D-BC1-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知梯形ABCD中,ADBC,∠ABC=∠BAD=
π
2
,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),EFBC,AE=x,G是BC的中點(diǎn).沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖).
(1)當(dāng)x=2時(shí),求證:BD⊥EG;
(2)若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x),求f(x)的最大值;
(3)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí),求二面角D-BF-C的余弦值.

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