【題目】動點與定點的距離和該動點到直線的距離的比是常數(shù).
(1)求動點軌跡方程;
(2)已知點,問在軸上是否存在一點,使得過點的任一條斜率不為0的弦交曲線于兩點,都有.
【答案】(1);(2)存在,坐標為
【解析】
(1)根據(jù)題意列出點滿足的關(guān)系式,再化簡方程即可.
(2) 設(shè),再討論當⊥軸時可得,即若存在定點,則定點坐標為.再討論斜率存在時,設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程,求出韋達定理,證明即可.
(1)由題意,知,即.
解得曲線的方程為.
(2)法一:設(shè),易知,
①若⊥軸時,由,此時,滿足橢圓方程,
∴,解得(舍),可知若存在定點,則定點坐標為.
②當直線斜率存在時,設(shè)斜率為k,
設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程,
消去得,∴.
,∴
,
綜合①②可知,存在點,使得.
(2)(解法二)設(shè),易知,設(shè).
若不垂直軸,的斜率為,則直線的方程為,
,,
,
即是①,
由,得,
代入①式得
化簡,
整理得②,
為使與斜率無關(guān),由②式得出,解得(舍),
這說明與軸不垂直時,是過的弦,恒有,
若⊥軸時,:,是等腰三角形,,
,,,,
可見是等腰直角三角形,,
綜上,過的弦總有.
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【題目】若函數(shù)滿足“存在正數(shù),使得對定義域內(nèi)的每一個值,在其定義域內(nèi)都存在,使成立”,則稱該函數(shù)為“依附函數(shù)”.
(1)分別判斷函數(shù)①,②是否為“依附函數(shù)”,并說明理由;
(2)若函數(shù)的值域為,求證:“是‘依附函數(shù)’”的充要條件是“”.
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【題目】當急需住院人數(shù)超過醫(yī)院所能收治的病人數(shù)量時就會發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象,在新冠肺炎爆發(fā)期間,境外某市每日下班后統(tǒng)計住院人數(shù),從中發(fā)現(xiàn):該市每日因新冠肺炎住院人數(shù)均比前一天下班后統(tǒng)計的住院人數(shù)增加約25%,但每日大約有200名新冠肺炎患者治愈出院,已知該市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治療,該市的醫(yī)院共可收治4000名新冠肺炎患者,若繼續(xù)按照這樣的規(guī)律發(fā)展,該市因新冠肺炎疫情發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象,只需要約( )
參考數(shù)據(jù):.
A.7天B.10天C.13天D.16天
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【題目】動圓過定點,且在軸上截得的弦的長為4.
(1)若動圓圓心的軌跡為曲線,求曲線的方程;
(2)在曲線的對稱軸上是否存在點,使過點的直線與曲線的交點滿足為定值?若存在,求出點的坐標及定值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),,.
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線在點(1,0)處的切線為l : x+y-1=0,求a,b的值;
(3)若恒成立,求的最大值.
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