Question

【題目】若函數(shù)滿足“存在正數(shù)，使得對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在，使成立”，則稱該函數(shù)為“依附函數(shù)”．

（1）分別判斷函數(shù)①，②是否為“依附函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，求證：“是‘依附函數(shù)’”的充要條件是“”．

Answer 1

【答案】（1）①是，②不是；理由詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）①可取，說(shuō)明函數(shù)是“依附函數(shù)”； ②對(duì)于任意正數(shù)，取，此時(shí)關(guān)于的方程無(wú)解，說(shuō)明不是“依附函數(shù)”；

（2）先證明必要性，再證明充分性，即得證.

（1）①可取，則對(duì)任意，存在，使得成立，

（說(shuō)明：可取任意正數(shù)，則）

∴是“依附函數(shù)”，

②對(duì)于任意正數(shù)，取，則，

此時(shí)關(guān)于的方程無(wú)解，∴不是“依附函數(shù)”．

（2）必要性：（反證法）假設(shè)，

∵的值域?yàn)?/span>，∴存在定義域內(nèi)的，使得，

∴對(duì)任意正數(shù)，關(guān)于的方程無(wú)解，

即不是依附函數(shù)，矛盾，

充分性：假設(shè)，取，

則對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，由，可得，

而的值域?yàn)?/span>，

∴存在定義域內(nèi)的，使得，即成立，

∴是“依附函數(shù)”．