【題目】已知橢圓,為橢圓的左、右焦點,點在直線上且不在軸上,直線與橢圓的交點分別為,為坐標原點.

設(shè)直線的斜率為,證明:

問直線上是否存在點,使得直線的斜率滿足?若存在,求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

(1)設(shè)出P的坐標,表示出斜率,化簡可得結(jié)論;

(2)設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出斜率,利用kOA+kOB+kOC+kOD=0,即可得到結(jié)論.

因為橢圓方程為,所以F1(﹣1,0)、F2(1,0)

設(shè)Px0,2﹣x0),則,

所以

(2)記A、B、C、D坐標分別為(x1y1)、(x1y1)、(x1,y1)、(x1y1).

設(shè)直線PF1xm1y﹣1,PF2xm2y+1

聯(lián)立可得

代入,可得

同理,聯(lián)立PF2和橢圓方程,可得

m1﹣3m2=2(由(1)得)可解得,或,

所以直線方程為,

所以點P的坐標為(0,2)或

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)若函數(shù)處取得極值,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

3)當時,證明不等式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示的幾何體中,垂直于梯形所在的平面,的中點,,四邊形為矩形,線段于點.

(1)求證:平面;

(2)求二面角的正弦值;

(3)在線段上是否存在一點,使得與平面所成角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代號t

1

2

3

4

5

6

7

人均純收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;

(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:

,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】橢圓的兩個焦點,設(shè)分別是橢圓的上、下頂點,且四邊形的面積為,其內(nèi)切圓周長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)當時,,為橢圓上的動點,且,試問:直線是否恒過一定點?若是,求出此定點坐標,若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A,BC的對邊分別為a,bc, 且, 若.

(1)求角B的大;

(2)若, 且△ABC的面積為, 求sinA的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】橢圓的兩個焦點,,設(shè),分別是橢圓的上、下頂點,且四邊形的面積為,其內(nèi)切圓周長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)當時,,為橢圓上的動點,且,試問:直線是否恒過一定點?若是,求出此定點坐標,若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生的視力情況進行調(diào)查,在高三的全體1000名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生的體檢表,并得到如下直方圖:

年級名次/是否近視

1-50

951-1000

近視

41

32

不近視

9

18

(1)若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù);

(2)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生,近視的比較多,為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系,對年級名次在1~50名和951~1000名的學(xué)生進行了調(diào)查,得到如上述表格中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系;

(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中,按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人,進一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣,并且在這9人中任取3人,記名次在1~50名的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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