【題目】如圖所示的幾何體中,垂直于梯形所在的平面,為的中點,,四邊形為矩形,線段交于點.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在線段上是否存在一點,使得與平面所成角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析(2)(3)在線段上存在一點滿足題意,且
【解析】
(1)由題意結(jié)合線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩個半平面的法向量可得二面角的余弦值,然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得二面角的正弦值;
(3)假設(shè)點Q存在,利用直線的方向向量和平面的法向量計算可得點Q的存在性和位置.
(1)因為四邊形為矩形,所以為的中點.連接,
在中,分別為的中點,所以,
因為平面,平面,
所以平面.
(2)易知兩兩垂直,如圖以為原點,分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
則,所以.
設(shè)平面的法向量為,
則即解得
令,得
所以平面的一個法向量為.
設(shè)平面的法向量為,
,據(jù)此可得 ,
則平面的一個法向量為,
,于是.
故二面角的正弦值為.
(3)設(shè)存在點滿足條件.
由,
設(shè),整理得,
則.
因為直線與平面所成角的大小為,
所以
解得,
由知,即點與重合.
故在線段上存在一點,且.
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【題目】共享單車給市民出行帶來了諸多便利,某公司購買了一批單車投放到某地給市民使用.據(jù)市場分析,每輛單車的營運累計收入 (單位:元)與營運天數(shù)滿足.
(1)要使?fàn)I運累計收入高于800元,求營運天數(shù)的取值范圍;
(2)每輛單車營運多少天時,才能使每天的平均營運收入最大?
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【題目】已知直線, .
(1)當(dāng)時,直線過與的交點,且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反,求直線的方程;
(2)若坐標(biāo)原點到直線的距離為,判斷與的位置關(guān)系.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,
(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點,曲線與曲線交于兩點,求的值.
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【題目】已知橢圓 的左,右焦點,,上頂點為,,為橢圓上任意一點,且的面積最大值為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準方程;
(Ⅱ)若點.為橢圓上的兩個不同的動點,且(為坐標(biāo)原點),則是否存在常數(shù),使得點到直線的距離為定值?若存在,求出常數(shù)和這個定值;若不存在,請說明理由.
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【題目】是雙曲線上一點, 分別是雙曲線的左、右頂點,直線的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)過雙曲線的右焦點且斜率為的直線交雙曲線于兩點, 為坐標(biāo)原點, 為雙曲線上一點,滿足,求的值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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【題目】已知橢圓,為橢圓的左、右焦點,點在直線上且不在軸上,直線與橢圓的交點分別為和,為坐標(biāo)原點.
設(shè)直線的斜率為,證明:
問直線上是否存在點,使得直線的斜率滿足?若存在,求出所有滿足條件的點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.
(I)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。
(II)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.
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