Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+2．
（1）若x∈[-5，5]時，函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）記函數(shù)f（x）的最大值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對稱性得出

a

2

≥5或

a

2

≤-5，
（2）分類討論得出當a≥10，即

a

2

≥5，在[-5，5]上單調(diào)遞增，a≤-10，即

a

2

≤-5，在[-5，5]上單調(diào)遞減當-10＜a＜10函數(shù)數(shù)f（x）的最大值為g（a）=f（

a

2

）=2+

a2

4

，

解答： 解：f（x）=-x²+ax+2．對稱軸x=

a

2

，
（1）∵若x∈[-5，5]時，函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，
∴

a

2

≥5或

a

2

≤-5，
即a≥10或a≤-10，
（2）當a≥10，即

a

2

≥5
在[-5，5]上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）的最大值為g（a）=f（5）=5a-23，
當a≤-10，即

a

2

≤-5，
在[-5，5]上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）的最大值為g（a）=f（-5）=-5a-23，
當-10＜a＜10函數(shù)數(shù)f（x）的最大值為g（a）=f（

a

2

）=2+

a2

4

，
∴g（a）=當

5a-23，a≥10 -5a-23，a≤-10 2+ a2 4 ，-10＜a＜10

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱軸，單調(diào)性，最值問題，分類討論，屬于中檔題．