Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ-

n

2n-1

，求a_n的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列的通項(xiàng)公式特點(diǎn)，應(yīng)利用分組求和法、錯(cuò)位相減法求出前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：由題意得，a_n=2ⁿ-

n

2n-1

，
所以{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

），
=

2(1-2n)

1-2

-（

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

）=2ⁿ⁺¹-2-（

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

），
設(shè)S=

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①
則

1

2

S=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，②
①-②得，

1

2

S=

1

20

+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
則S=4-

n+2

2n-1

，
所以S_n=2ⁿ⁺¹-2+4-

n+2

2n-1

=2n+1+2-

n+2

2n-1

．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及分組求和法、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，以及整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．