在△ABC中，設(shè)
AB
與
BC
的夾角為θ，已知
AB
•
BC
=6，且2
3
≤|
AB
||
BC
|sin（π-θ）≤6．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（θ）=
1-
2
cos(2θ-
π
4
)
sinθ
的最大值．
考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的最值
專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用
分析：（1）首先根據(jù)向量的數(shù)量積與已知條件求出向量的夾角范圍．
（2）進(jìn)一步對三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變形，利用夾角的范圍求出三角函數(shù)關(guān)系式的最值．
解答： 解：（1）∵
AB
•
BC
=|
AB
||
BC
|cosθ=6，①
2
3
≤|
AB
||
BC
|sinθ≤6，②
由
②
①
得，
3
3
≤tanθ≤1，
∵θ為
AB
與
BC
的夾角，
∴θ∈[
π
6
，
π
4
]；
（2）f(θ)=
1-(cos2θ+sin2θ)
sinθ

=
2sin2θ-2sinθcosθ
sinθ

=2(sinθ-cosθ)=2
2
sin(θ-
π
4
)，
由于f(θ)=2
2
sin(θ-
π
4
)在θ∈[
π
6
，
π
4
]內(nèi)是增函數(shù)，
∴f（θ）max=0（當(dāng)且僅當(dāng)θ=
π
4
時(shí)等號成立）．
點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的求法，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的最值問題，屬于基礎(chǔ)題型．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x2+mx-2m-3
（1）若函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）與（1，+∞）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若不等式f（x）≥（3m+1）x-3m-11在x∈（
1
2
，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

A、B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則直線xsinA-ycosB=0的傾斜角（　�。�
A、大于135°
B、大于90°且小于135°
C、大于45°且小于90°
D、小于45°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

f（x）=
lnx
x
，a＞b＞e，則f（a）與f（b）大小關(guān)系為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡：sin（2nπ-
2π
3
）•cos（2nπ+
4π
3
）（n∈Z）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為（　�。�
A、
10
10
B、
10
3
C、
30
10
D、
5
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
OA
，
OB
是兩個(gè)單位向量，且
OA
•
OB
=0．若點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，
OC
=m
OA
+n
OB
（m，n∈R），則
m
n
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=cos（2x-
π
3
）+2sin（x-
π
4
）sin（x+
π
4
）圖象的對稱軸方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x2+ax+2．
（1）若x∈[-5，5]時(shí)，函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）記函數(shù)f（x）的最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

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