【題目】如圖,在五棱錐P-ABCDE中,△ABE是等邊三角形,四邊形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°,G是CD的中點,點P在底面的射影落在線段AG上.

(Ⅰ)求證:平面PBE⊥平面APG;

(Ⅱ)已知AB=2,BC=,側(cè)棱PA與底面ABCDE所成角為45°,S△PBE=,點M在側(cè)棱PC上,CM=2MP,求二面角M-AB-D的余弦值.

【答案】(I)見解析; (II).

【解析】

(Ⅰ)由題易證BE⊥PO,BE⊥AG,可得BE⊥平面PAG,既而證得平面PBE⊥平面APG;

(II)建立空間直角坐標系,分別求出平面MAB和平面ABD的法向量,再根據(jù)二面角的公式求得二面角M-AB-D的余弦值即可.

(Ⅰ)取BE中點F,連接AF,GF,由題意得A,F(xiàn),G三點共線,

過點P作PO⊥AG于O,則PO⊥底面ABCDE

∵BE平面ABCDE,∴BE⊥PO,

∵△ABE是等邊三角形,

∴BE⊥AG

∵AG∩PO=O,∴BE⊥平面PAG,

∵BE平面PBE,

∴平面PBE⊥平面APG.

(II)連接PF,∵

又∵∠PAF=45°,∴PF⊥AF,∴PF⊥AF,

∴PF⊥底面ABCDE.

∴O點與F點重合.

如圖,以O為原點,分別以的方向為x軸,y軸,z軸正方向,建立空間直角坐標系.

底面ABCDE的一個法向量

,∴,

設平面ABM的法向量,

,

,∴,

,取,

,

∵二面角的法向量分別指向二面角的內(nèi)外,即為二面角的平面角,

∴cos<==

∴二面角M-AB-D的余弦值為

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