【題目】已知橢圓:的左右焦點分別為、,左右頂點分別是、,長軸長為,是以原點為圓心,為半徑的圓的任一條直徑,四邊形的面積最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)不經(jīng)過原點的直線:與橢圓交于、兩點,
①若直線與的斜率分別為,,且,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標;
②若直線的斜率是直線、斜率的等比中項,求面積的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由題可得,再由四邊形的面積最大值為列方程即可求得,問題得解。
(2)①設(shè),,聯(lián)立直線與橢圓方程可得:,即可表示出,,再整理,可得:,問題得解。
②由直線的斜率是直線、斜率的等比中項即可求得,再由弦長公式求得,求出點到直線的距離,即可表示,再利用基本不等式即可得解。
(1)由題可得:,即:,
當與軸重合時,四邊形的面積最大值
由已知可得:,解得:
所以橢圓方程為:.
(2)①證明:設(shè),,
將代入橢圓方程得:,
,
∴,,
∵,
∴,
解得:,
∴直線的方程為,即,
故直線恒過定點;
②由直線的斜率是直線,斜率的等比中項,
即有,即,
∴,整理得:,解得,
代入有,
,
點到直線的距離,
∴ ,
(當且僅當時,等號成立)
所以面積的取值范圍是:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】司機在開機動車時使用手機是違法行為,會存在嚴重的安全隱患,危及自己和他人的生命. 為了研究司機開車時使用手機的情況,交警部門調(diào)查了名機動車司機,得到以下統(tǒng)計:在名男性司機中,開車時使用手機的有人,開車時不使用手機的有人;在名女性司機中,開車時使用手機的有人,開車時不使用手機的有人.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為開車時使用手機與司機的性別有關(guān);
開車時使用手機 | 開車時不使用手機 | 合計 | |
男性司機人數(shù) | |||
女性司機人數(shù) | |||
合計 |
(2)以上述的樣本數(shù)據(jù)來估計總體,現(xiàn)交警部門從道路上行駛的大量機動車中隨機抽檢3輛,記這3輛車中司機為男性且開車時使用手機的車輛數(shù)為,若每次抽檢的結(jié)果都相互獨立,求的分布列和數(shù)學期望.
參考公式與數(shù)據(jù):
參考數(shù)據(jù):
參考公式
span>,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:經(jīng)過點,A,B是拋物線C上異于點O的不同的兩點,其中O為原點.
(1)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標和準線方程;
(2)若,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,曲線由曲線和曲線組成,其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點,點為曲線所在圓錐曲線的焦點.
(1)若,求曲線的方程;
(2)如圖,作直線平行于曲線的漸近線,交曲線于點,求證:弦的中點必在曲線的另一條漸近線上;
(3)對于(1)中的曲線,若直線過點交曲線于點,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程.
(2)從圓C外一點P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的點P的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長為2;
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)橢圓上頂點,左、右頂點分別為、.直線且交橢圓于、兩點,點E 關(guān)于軸的對稱點為點,求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在五棱錐P-ABCDE中,△ABE是等邊三角形,四邊形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°,G是CD的中點,點P在底面的射影落在線段AG上.
(Ⅰ)求證:平面PBE⊥平面APG;
(Ⅱ)已知AB=2,BC=,側(cè)棱PA與底面ABCDE所成角為45°,S△PBE=,點M在側(cè)棱PC上,CM=2MP,求二面角M-AB-D的余弦值.
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