Question

已知函數(shù)f（x）＝＋lnx.

（1）若函數(shù)f（x）在[1，＋∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，其中bn＝，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，1＋lnn＞Sn.

 

Answer 1

（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值在[1，＋∞）上恒非負(fù)可求的a的取值范圍；（2）選取滿足條件（1）的某個(gè)a值，得到恒成立的不等式，再取相應(yīng)的x，得到一系列不等式，求和即可.

試題解析： （Ⅰ）由已知得， 1分

依題意得對(duì)任意x∈[1，＋∞）恒成立

若a＜0，則符合題意要求. 1分

若a＞0，則對(duì)任意x∈[1，＋∞）恒成立， 2分

而

∴a≥1 1分

所以a的取值范圍為 1分

（2）由（Ⅰ）知：當(dāng)a＝1時(shí)，對(duì)恒成立. 1分

當(dāng)n≥2時(shí)，令，，得， 3分

再將這n－1個(gè)不等式相加得：

則：，即原不等式成立. 3分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，不等式證明