Question

如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線(xiàn)段A₁B上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

• A、DC₁⊥D₁P
• B、平面D₁A₁P⊥平面A₁AP
• C、∠APD₁的最大值為90°
• D、AP+PD₁的最小值為

  2+ 2

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：應(yīng)用題,空間位置關(guān)系與距離

分析：利用DC₁⊥面A₁BCD₁，可得DC₁⊥D₁P，A正確
利用平面D₁A₁BC，⊥平面A₁ABB₁，得出平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，B正確；
當(dāng)A₁P=

2

2

時(shí)，∠APD₁為直角角，當(dāng)0＜A₁P＜

2

2

時(shí)，∠APD₁為鈍角，C錯(cuò)；
將面AA₁B與面ABCD₁沿A₁B展成平面圖形，線(xiàn)段AD₁即為AP+PD₁的最小值．

解答：解：∵A₁D₁⊥DC₁，A₁B⊥DC₁，∴DC₁⊥面A₁BCD₁，D₁P?面A₁BCD₁，∴DC₁⊥D₁P，A正確
∵平面D₁A₁P即為平面D₁A₁BC，平面A₁AP 即為平面A₁ABB₁，切D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，
∴平面D₁A₁BC，⊥平面A₁ABB₁，∴平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，∴B正確；
 當(dāng)0＜A₁P＜

2

2

 時(shí)，∠APD₁為鈍角，∴C錯(cuò)；
將面AA₁B與面A₁BCD₁沿A₁B展成平面圖形，線(xiàn)段AD₁即為AP+PD₁的最小值，

在△AA₁D₁中，利用余弦定理解三角形得AD₁=

2+ 2

，∴D正確．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，空間位置關(guān)系的判定，轉(zhuǎn)化的思想．