【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣ x2﹣aln(x+1)(a>0),g(x)=ex﹣x﹣1,曲線y=f(x)與y=g(x)在原點(diǎn)處的公共的切線.
(1)若x=0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),求f(x)的單調(diào)區(qū)間(用a表示);
(2)若x≥0,g(x)≥f(x)+ x2 , 求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題意得:f(x)的定義域是(﹣1,+∞),
且f′(x)=a﹣x﹣ ,g′(x)=ex﹣1,
∵曲線y=f(x)與y=g(x)在原點(diǎn)處的公共的切線,
∴f′(0)=g′(0),
解得:a=b,
∴f(x)=ax﹣ x2﹣aln(x+1);
f′(x)= ,
a=1時(shí),f′(x)≤0,函數(shù)在定義域遞減,不合題意;
a≠1時(shí),∵x=0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),
故由y=﹣x2+(a﹣1)x的圖象可知a﹣1<0,
由f′(x)<0,得:x∈(﹣1,a﹣1)∪(0,+∞),
由f′(x)>0,得:x∈(a﹣1,0),
∴f(x)在(a﹣1,0)遞增,在(﹣1,a﹣1),(0,+∞)遞減
(2)解:∵g′(x)=ex﹣1,且﹣1<x<0時(shí),g′(x)<0,x>0時(shí),g′(x)>0,
故x=0時(shí),g(x)取得最小值0,∴g′(x)≥0,即ex≥x+1,從而x≥ln(x+1),
設(shè)F(x)=g(x)﹣f(x)﹣ x2=ex+aln(x+1)﹣(a+1)x﹣1,
F′(x)=ex+ ﹣(a+1),
①a=1時(shí),∵x≥0,∴F′(x)≥x+1+ ﹣(a+1)=x+1+ ﹣2≥0,
∴F(x)在[0,+∞)遞增,從而F(x)≥F(0)=0,
即ex+ln(x+1)=2x﹣1>0,
∴g(x)≥f(x)+ x2,
②0<a<1時(shí),由①得:ex+ln(x+1)﹣2x﹣1>0,
∴g(x)=ex﹣x﹣1≥x﹣ln(x+1)≥a(x﹣ln(x+1)),
故F(x)≥0即g(x)≥f(x)+ x2,
③a>1時(shí),令h(x)=ex+ ﹣(a+1),
則h′(x)=ex﹣ ,
顯然h′(x)在[0,+∞)遞增,又h′(0)=1﹣a<0,h′( ﹣1)= ﹣1>0,
∴h′(x)在(0, ﹣1)上存在唯一零點(diǎn)x0,
當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h′(x)<0,h(x)在[0,x0)遞減,
x∈(0,x0)時(shí),F(xiàn)(x)<F(0)=0,
即g(x)<f(x)+ x2,不合題意,
綜上,a∈(0,1].
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f′(0)=g′(0),求出a=b,求出f(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)設(shè)F(x)=g(x)﹣f(x)﹣ x2 , 通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定a的具體范圍即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】BD是等腰直角三角形△ABC腰AC上的中線,AM⊥BD于點(diǎn)M,延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N,AF⊥BC于點(diǎn)F,AF與BD交于點(diǎn)E.
(1)求證;△ABE≌△ACN;
(2)求證:∠ADB=∠CDN.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的右焦點(diǎn),過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)其傾斜角恰好為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),線段上是否存在點(diǎn),使得?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,AC是圓O的一條直徑,PA⊥平面ABCD,PA=AC=2,E是PC的中點(diǎn),∠DAC=∠AOB
(1)求證:BE∥平面PAD;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的正切值為2,求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C1: + =1(a>0,b>0)的離心率為 ,其右焦點(diǎn)到直線2ax+by﹣ =0的距離為 .
(1)求橢圓C1的方程;
(2)過點(diǎn)P(0,﹣ )的直線l交橢圓C1于A,B兩點(diǎn).
①證明:線段AB的中點(diǎn)G恒在橢圓C2: + =1的內(nèi)部;
②判斷以AB為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中點(diǎn).
(1)求MN與AC所成角,并說明理由.
(2)求證:平面AMN∥平面EFDB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù),求對(duì)任意, 恒成立的概率;
(2)若是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù), 是從任取的一個(gè)數(shù),求函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2012年中華人民共和國(guó)環(huán)境保護(hù)部批準(zhǔn)《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》為國(guó)家環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn),該標(biāo)準(zhǔn)增設(shè)和調(diào)整了顆粒物、二氧化氮、鉛、笨等的濃度限值,并從2016年1月1日起在全國(guó)實(shí)施.空氣質(zhì)量的好壞由空氣質(zhì)量指數(shù)確定,空氣質(zhì)量指數(shù)越高,代表空氣污染越嚴(yán)重,某市對(duì)市轄的某兩個(gè)區(qū)加大了對(duì)空氣質(zhì)量的治理力度,從2015年11月1日起監(jiān)測(cè)了100天的空氣質(zhì)量指數(shù),并按照空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為:指標(biāo)小于或等于115為通過,并引進(jìn)項(xiàng)目投資.大于115為未通過,并進(jìn)行治理.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)如下.
空氣質(zhì)量指數(shù) | (0,35] | [35,75] | (75,115] | (115,150] | (150,250] | >250 |
空氣質(zhì)量類別 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
甲區(qū)天數(shù) | 13 | 20 | 42 | 20 | 3 | 2 |
乙區(qū)天數(shù) | 8 | 32 | 40 | 16 | 2 | 2 |
(1)以頻率值作為概率值,求甲區(qū)和乙區(qū)通過監(jiān)測(cè)的概率;
(2)對(duì)于甲區(qū),若通過,引進(jìn)項(xiàng)目可增加稅收40(百萬元),若沒通過監(jiān)測(cè),則治理花費(fèi)5(百萬元);對(duì)于乙,若通過,引進(jìn)項(xiàng)目可增加稅收50(百萬元),若沒通過監(jiān)測(cè),則治理花費(fèi)10(百萬元)..在(1)的前提下,記X為通過監(jiān)測(cè),引進(jìn)項(xiàng)目增加的稅收總額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】若函數(shù)滿足:在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得成立,則稱函數(shù)具有性質(zhì)M.
判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)M,說明理由;
若函數(shù)具有性質(zhì)M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
若函數(shù)具有性質(zhì)M,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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