【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,AC是圓O的一條直徑,PA⊥平面ABCD,PA=AC=2,E是PC的中點,∠DAC=∠AOB

(1)求證:BE∥平面PAD;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的正切值為2,求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:∵,∠DAC=∠AOB

∴AD∥OB,

∵E是PC的中點,O是AC的中點,

∴OE是△PAC的中位線,

∴OE∥PA,

∵PA∩AD=A,

平面OBE∥平面PAD,

∵BE平面PAD,BE平面PAD,

∴BE∥平面PAD


(2)解:∵AC是圓O的一條直徑,∴AC⊥AD,

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,

則CD⊥平面PAD,

則CD⊥PD,

則∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,

若二面角P﹣CD﹣A的正切值為2,

則tan∠PDA= =2,

即AD=1,

建立以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,垂直于平面ABCD的直線分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:

則B( , ,0),P(1,0,2), =(- ,﹣ ,2)

D(0,0,0),C(0, ,0),

=(0, ,0), =(1,0,2),

設(shè)平面PCD的法向量為 =(x,y,z),

,即 ,令z=1,則x=﹣2,y=0,

=(﹣2,0,1),

則直線PB與平面PCD所成角的正弦值sin< , >=|cos< , >|=| |=


【解析】(1)根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明平面OBE∥平面PAD,即可證明BE∥平面PAD;(2)建立空間坐標(biāo)系,根據(jù)二面角P﹣CD﹣A的正切值為2,得到AD=1,然后求出平面的法向量,利用直線和平面所成角的定義即可求直線PB與平面PCD所成角的正弦值
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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A.(1,2)
B.(﹣1,0)
C.(﹣2,﹣1)
D.(﹣6,﹣1)

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【題目】甲乙兩俱樂部舉行乒乓球團體對抗賽.雙方約定:
①比賽采取五場三勝制(先贏三場的隊伍獲得勝利.比賽結(jié)束)
②雙方各派出三名隊員.前三場每位隊員各比賽﹣場
已知甲俱樂部派出隊員A1、A2 . A3 , 其中A3只參加第三場比賽.另外兩名隊員A1、A2比賽場次未定:乙俱樂部派出隊員B1、B2 . B3 , 其中B1參加第一場與第五場比賽.B2參加第二場與第四場比賽.B3只參加第三場比賽
根據(jù)以往的比賽情況.甲俱樂部三名隊員對陣乙俱樂部三名隊員獲勝的概率如表:

A1

A2

A3

B1

B2

B3


(1)若甲俱樂部計劃以3:0取勝.則應(yīng)如何安排A1、A2兩名隊員的出場順序.使得取勝的概率最大?
(2)若A1參加第一場與第四場比賽,A2參加第二場與第五場比賽,各隊員每場比賽的結(jié)果互不影響,設(shè)本次團體對抗賽比賽的場數(shù)為隨機變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)

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(1)求該組織的人數(shù).

(2)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加某社區(qū)的宣傳活動,然后在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗,求第3組至少有一名志愿者被抽中的概率.

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1級部樣本的30個個體中隨機抽取1個,求抽出的為“優(yōu)秀”的概率;

2由以上數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān).

附表

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