Question

【題目】已知橢圓：的短軸長為2，離心率.過橢圓的右焦點(diǎn)作直線l（不與軸重合）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，.

（1）求橢圓的方程；

（2）試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與直線恰好關(guān)于軸對(duì)稱?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)滿足條件．

【解析】

（1）由題意知，，解出即可；

（2）由題意，設(shè)，，定點(diǎn)（依題意，），設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立并消元，得，，根據(jù)題意，化簡整理得，解出即可．

解：（1）由題意知，，

解得，

∴橢圓的方程為：；

（2）存在定點(diǎn)，滿足直線與直線恰好關(guān)于軸對(duì)稱；

由題設(shè)知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，

與橢圓的方程聯(lián)立，消元整理得，

設(shè)，，定點(diǎn)（依題意，），

由韋達(dá)定理可得，，，

直線與直線恰好關(guān)于軸對(duì)稱，則直線與直線的斜率互為相反數(shù)，

∴，即，

又，

∴，

整理得，，

∴，即，

∴當(dāng)，即時(shí)，直線與直線恰好關(guān)于軸對(duì)稱，

綜上：在軸上存在點(diǎn)，滿足直線與直線恰好關(guān)于軸對(duì)稱．