Question

【題目】已知函數(shù)，(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）記

①當(dāng)時(shí)，試判斷的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②求證：時(shí)，

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.

（2）①存在唯一零點(diǎn),②證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）①，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，又，可證明存在滿足且時(shí)，，從而可得結(jié)論；②由①知，可設(shè)在上存在唯一零點(diǎn)為，，即，，

將，代入上式，利用基本不等式可得結(jié)論.

（1），其定義域?yàn)?/span>，

由，令得，

令得，

∴的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為

（2）①解：由

∴，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.

∴在上單調(diào)遞增.

又

假設(shè)存在滿足且時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)在上存在唯一零點(diǎn).

②由①知，可設(shè)在上存在唯一零點(diǎn)為，

∴，即

兩邊取自然對(duì)數(shù)得，，

又當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)；

時(shí)，，在上是增函數(shù)，

∴，

將，代入上式得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，