【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E為棱AD的中點,異面直線PA與CD所成的角為90°.
(1)在平面PAB內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PBE,并說明理由;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.
【答案】
(1)解:延長AB交直線CD于點M,∵點E為AD的中點,∴AE=ED= AD,
∵BC=CD= AD,∴ED=BC,
∵AD∥BC,即ED∥BC.∴四邊形BCDE為平行四邊形,即EB∥CD.
∵AB∩CD=M,∴M∈CD,∴CM∥BE,
∵BE平面PBE,∴CM∥平面PBE,
∵M∈AB,AB平面PAB,
∴M∈平面PAB,故在平面PAB內(nèi)可以找到一點M(M=AB∩CD),使得直線CM∥平面PBE.
(2)解:如圖所示,∵∠ADC=∠PAB=90°,異面直線PA與CD所成的角為90°,AB∩CD=M,
∴AP⊥平面ABCD.
∴CD⊥PD,PA⊥AD.
因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,大小為45°.
∴PA=AD.
不妨設(shè)AD=2,則BC=CD= AD=1.∴P(0,0,2),E(0,1,0),C(﹣1,2,0),
∴ =(﹣1,1,0), =(0,1,﹣2), =(0,0,2),
設(shè)平面PCE的法向量為 =(x,y,z),則 ,可得: .
令y=2,則x=2,z=1,∴ =(2,2,1).
設(shè)直線PA與平面PCE所成角為θ,
則sinθ= = = = .
【解析】(1)延長AB交直線CD于點M,由點E為AD的中點,可得AE=ED= AD,由BC=CD= AD,可得ED=BC,已知ED∥BC.可得四邊形BCDE為平行四邊形,即EB∥CD.利用線面平行的判定定理證明得直線CM∥平面PBE即可.(2)如圖所示,由∠ADC=∠PAB=90°,異面直線PA與CD所成的角為90°AB∩CD=M,可得AP⊥平面ABCD.由CD⊥PD,PA⊥AD.因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,大小為45°.PA=AD.不妨設(shè)AD=2,則BC=CD= AD=1.可得P(0,0,2),E(0,1,0),C(﹣1,2,0),利用法向量的性質(zhì)、向量夾角公式、線面角計算公式即可得出.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x﹣ )=f(x+ )恒成立,當x∈[2,3]時,f(x)=x,則當x∈(﹣2,0)時,函數(shù)f(x)的解析式為( )
A.|x﹣2|
B.|x+4|
C.3﹣|x+1|
D.2+|x+1|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a>1,若對任意x1 , x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對一切, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)證明:對一切,都有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一張坐標紙上已作出圓及點,折疊此紙片,使與圓周上某點重合,每次折疊都會留下折痕,設(shè)折痕與直線的交點為,令點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若直線與軌跡交于、兩點,且直線與以為直徑的圓相切,若,求的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段[90,100),[100,110),…,[140,150)后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:
求分數(shù)在[120,130)內(nèi)的頻率,并補全這個頻
率分布直方圖;
統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點
值作為代表,據(jù)此估計本次考試的平均分;
(3)用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任取2個,求至多有1人在分數(shù)段[120,130)內(nèi)的概率.
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【題目】如圖,已知雙曲線C1: ,曲線C2:|y|=|x|+1,P是平面內(nèi)一點,若存在過點P的直線與C1 , C2都有公共點,則稱P為“C1﹣C2型點”
(1)在正確證明C1的左焦點是“C1﹣C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設(shè)直線y=kx與C2有公共點,求證|k|>1,進而證明原點不是“C1﹣C2型點”;
(3)求證:圓x2+y2= 內(nèi)的點都不是“C1﹣C2型點”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中裝有個大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出個球,至少得到個白球的概率是.
(1)求白球的個數(shù);
(2)從袋中任意摸出個球,記得到白球的個數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中是自然對數(shù)的底數(shù)),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記
①當時,試判斷的導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù);
②求證:時,
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