【題目】已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x∈（0，e]時，求g（x）=e2x﹣lnx的最小值；
（3）當x∈（0，e]時，證明：e2x﹣lnx﹣ ＞ ．

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，a∈R，

∴ ．

①當a≤0時，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

②當a＞0時，令f'（x）＞0，得 ，令f'（x）＜0，得 ，

∴f（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增．

綜上，當a≤0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞增區(qū)間；

當a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是


（2）解：∵g（x）=e2x﹣lnx，則 ，

令g′（x）=0，得 ，當 時，g′（x）＜0，

當 時，g′（x）＞0，g

∴當 時，g（x）取得最小值，


（3）解：證明：令 ，則 ，令φ'（x）=0，得x=e．

當0＜x≤e時，φ'（x）≥0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，

∴ ，

所以 ，


【解析】（1）求出 ，由a≤0和a＞0兩種情況分類討論，利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）由g（x）=e2x﹣lnx，得 ，由此利用導性質(zhì)能求出g（x）的最小值．（3）令 ，則 ，令φ'（x）=0，得x=e，由此利用導數(shù)性質(zhì)能證明e2x﹣lnx﹣ ＞ ．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知雙曲線C1： ，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1 ， C2都有公共點，則稱P為“C1﹣C2型點”

（1）在正確證明C1的左焦點是“C1﹣C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1﹣C2型點”；
（3）求證：圓x2+y2= 內(nèi)的點都不是“C1﹣C2型點”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ．
（1）當x∈（0，1）時，求f（x）的單調(diào)性；
（2）若h（x）=（x2﹣x）f（x），且方程h（x）=m有兩個不相等的實數(shù)根x1 ， x2 ． 求證：x1+x2＞1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，(其中是自然對數(shù)的底數(shù))，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）記

①當時，試判斷的導函數(shù)的零點個數(shù)；

②求證：時，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且當x＞1時，有f（x）＞0．
①求證：f（ ）=f（m）﹣f（n）；
②求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
③比較f（ ）與 的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意都有.

（1）求證：函數(shù)是奇函數(shù)；

（2）如果當時，有，試判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明你的判斷；

（3）在（2）的條件下，若對滿足不等式的任意恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且時，總有成立．

求a的值；

判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

求在上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近年來，隨著我國汽車消費水平的提高，二手車流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展．某汽車交易市場對2017年成交的二手車交易前的使用時間（以下簡稱“使用時間”）進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如圖1．

圖1 圖2

（1）記“在年成交的二手車中隨機選取一輛，該車的使用年限在”為事件，試估計的概率；

（2）根據(jù)該汽車交易市場的歷史資料，得到散點圖如圖2，其中(單位：年)表示二手車的使用時間，(單位：萬元)表示相應的二手車的平均交易價格．由散點圖看出，可采用作為二手車平均交易價格關(guān)于其使用年限的回歸方程，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表（表中，）：

①根據(jù)回歸方程類型及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；

②該汽車交易市場對使用8年以內(nèi)(含8年)的二手車收取成交價格的傭金，對使用時間8年以上(不含8年)的二手車收取成交價格的傭金．在圖1對使用時間的分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值．若以2017年的數(shù)據(jù)作為決策依據(jù)，計算該汽車交易市場對成交的每輛車收取的平均傭金．

附注：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為；

②參考數(shù)據(jù)：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）若 在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值；

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