Question

已知等比數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公比為q，求：
（1）該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．
（2）若q≠1，證明數(shù)列{a_n+1}不是等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由和的定義及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式構(gòu)造出

Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+…+a1qn-1

，再與原來的和式相減得出(1-q)Sn=a1-a1qn，再對(duì)公比的取值進(jìn)行討論即可得出和式；
（2）先假設(shè)數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程，尋求使得數(shù)列為等比數(shù)列的條件即可證明出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，∴an=a1qn-1．

∴Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+…+a1qn-1

∴qSn=a1q+a1q2+…+a1qn
∴(1-q)Sn=a1-a1qn
當(dāng)q=1時(shí)，a_n=a₁
∴S_n=na₁
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=

a1(1-qn)

1-q

∴Sn=

na1，q=1 a1(1-qn) 1-q ，q≠1

（2）假設(shè)數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，則(a1+1)(a3+1)=(a2+1)2，即(a1+1)(a1q2+1)=(a1q+1)2a12q2+a1q2+a1+1=a12q2+2a1q+1
∴a1q2+a1-2a1q=0．
∵a₁≠0．
∴q²+1-2q=0即（q-1）²=0．
∴q=1這與已知q≠1矛盾．
∴{a_n+1}不是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，等數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，考查了分類討論的思想反證法證明的思想，綜合性較強(qiáng)．