Question

如圖，已知一四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，且側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）證明：BD⊥AE．
（3）求二面角P-BD-C的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間角

分析：（1）四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

•S正方形ABCD•PC，由此能求出結(jié)果．
（2）連結(jié)AC，由已知條件條件出BD⊥AC，BD⊥PC，從而得到BD⊥平面PAC，不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC，由此能證明BD⊥AE．
（3）以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-BD-C的正切值．

解答： （1）解：∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，
且側(cè)棱PC⊥底面ABCD，PC=2，
∴四棱錐P-ABCD的體積：
V=

1

3

•S正方形ABCD•PC
=

1

3

×1×2
=

2

3

．
（2）證明：連結(jié)AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC，
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC，
∴BD⊥AE．
（3）解：以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知P（0，0，2），B（0，1，0），D（1，0，0），
∴

PB

=(0，1，-2)，

PD

=(1，0，-2)，
設(shè)平面PBD的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PB =y-2z=0 n • PD =x-2z=0

，取x=2，得

n

=(2，2，1)，
由題意知

m

=(0，0，1)，
設(shè)二面角P-BD-C的平面角為θ，
則cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

1

4+4+1

=

1

3

，
∴tanθ=2

2

．
∴二面角P-BD-C的正切值為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四棱錐的體積的求法，考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．