【題目】如圖所示的多面體的底面為直角梯形，四邊形為矩形，且，，，，，，分別為，，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值．

【答案】（1）答案見解析．（2）

【解析】

（1）先證明平面，可得，取中點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)后，再求出平面的一個(gè)法向量和直線的方向向量，求出兩向量夾角的余弦值后利用平方關(guān)系即可得解.

（1）證明：，分別為，的中點(diǎn)，，

四邊形為矩形，，

又，，，平面，

平面，平面，，

取中點(diǎn)，連接，，，則，

點(diǎn)，，，同在平面內(nèi)．

在中，，，為中點(diǎn)，

，

又，，平面，平面．

（2）由（1）知，，三條直線兩兩垂直且交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

則，，，，

，分別為，中點(diǎn)，可得，，

，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，

令，可得，，，

所以．

所以與平面所成角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】電影《厲害了，我的國(guó)》于2018年3月正式登陸全國(guó)院線，網(wǎng)友紛紛表示，看完電影熱血沸騰“我為我的國(guó)家驕傲，我為我是中國(guó)人驕傲！”《厲害了，我的國(guó)》正在召喚我們每一個(gè)人，不忘初心，用奮斗書寫無(wú)悔人生，小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了，我的國(guó)》，并把標(biāo)識(shí)為的四張電影票放在編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)不同的盒子里，讓四位好朋友進(jìn)行猜測(cè)：

甲說(shuō)：第1個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是

乙說(shuō)：第2個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是

丙說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是，第2個(gè)盒子里放的是

丁說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是

小明說(shuō)：“四位朋友你們都只說(shuō)對(duì)了一半”

可以預(yù)測(cè)，第4個(gè)盒子里放的電影票為_________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】改革開放以來(lái)，中國(guó)快遞行業(yè)持續(xù)快速發(fā)展，快遞業(yè)務(wù)量從上世紀(jì)年代的萬(wàn)件提升到2018年的億件，快遞行業(yè)的發(fā)展也給我們的生活帶來(lái)了很大便利.已知某市某快遞點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:首重(重量小于等于)收費(fèi)元，續(xù)重元(不足按算). (如:一個(gè)包裹重量為則需支付首付元，續(xù)重元，一共元快遞費(fèi)用)

（1）若你有三件禮物重量分別為，要將三個(gè)禮物分成兩個(gè)包裹寄出(如:合為一個(gè)包裹，一個(gè)包裹)，那么如何分配禮物，使得你花費(fèi)的快遞費(fèi)最少？

（2）為了解該快遞點(diǎn)2019年的攬件情況，在2019年內(nèi)隨機(jī)抽查了天的日攬收包裹數(shù)(單位:件)，得到如下表格:

包裹數(shù)(單位:件)

天數(shù)(天)

現(xiàn)用這天的日攬收包裹數(shù)估計(jì)該快遞點(diǎn)2019年的日攬收包裏數(shù).若從2019年任取天，記這天中日攬收包裹數(shù)超過(guò)件的天數(shù)為隨機(jī)變量求的分布列和期望

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）射線與曲線、直線分別交于、兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）：若分?jǐn)?shù)不低于95分，則稱該員工的成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”.

組別

分組

頻數(shù)

頻率

1

2

3

4

（Ⅰ）從這20人中成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的員工中任取2人，求恰有1人的分?jǐn)?shù)為96的概率；

（Ⅱ）根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)所有員工的平均分?jǐn)?shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，矩形所在的平面與正三角形所在的平面互相垂直，為的中點(diǎn)，連接.

（1）證明:平面平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近年來(lái)，隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，諸如“滴滴打車”“神州專車”等網(wǎng)約車服務(wù)在我國(guó)各：城市迅猛發(fā)展，為人們出行提供了便利，但也給城市交通管理帶來(lái)了一些困難.為掌握網(wǎng)約車在省的發(fā)展情況，省某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該省抽取了個(gè)城市，分別收集和分析了網(wǎng)約車的兩項(xiàng)指標(biāo)數(shù)，數(shù)據(jù)如下表所示：

城市1

城市2

城市3

城市4

城市5

指標(biāo)數(shù)

指標(biāo)數(shù)

經(jīng)計(jì)算得：

（1）試求與間的相關(guān)系數(shù)，并利用說(shuō)明與是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)；

（2）立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)指標(biāo)數(shù)為時(shí)，指標(biāo)數(shù)的估計(jì)值.

附：相關(guān)公式：，

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若射線的極坐標(biāo)方程為（）.設(shè)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線、與拋物線相切，切點(diǎn)分別是、.

（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；

（2）以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及圓的方程.

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