【題目】已知橢圓G: 的離心率為,過橢圓G右焦點F的直線m:x=1與橢圓G交于點M(點M在第一象限).
(Ⅰ)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)已知A為橢圓G的左頂點,平行于AM的直線l與橢圓G相交于B,C兩點,請判斷直線MB,MC是否關于直線m對稱,并說明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)直線MB,MC關于直線m對稱,理由見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)由已知條件推導出c=1, ,由此能求出橢圓的方程.
(Ⅱ)由已知條件得A(-2,0),M(1, ),設直線l: ,n≠1.設B(x1,y1),C(x2,y2),由,得x2+nx+n2﹣3=0.再由根的判別式和韋達定理結合已知條件能求出直線MB,MC關于直線m對稱.
試題解析:
(Ⅰ)由題意得c=1,
由=可得a=2,
所以b2=a2-c2=3,
所以橢圓的方程為+=1.
(Ⅱ)由題意可得點A(-2,0),M(1,),
所以由題意可設直線l:y=x+n,n≠1.
設B(x1,y1),C(x2,y2),
由得x2+nx+n2-3=0.
由題意可得Δ=n2-4(n2-3)=12-3n2>0,即n∈(-2,2)且n≠1.
x1+x2=-n,x1x2=n2-3
因為kMB+kMC=+
=+
=1++
=1+
=1-=0,
所以直線MB,MC關于直線m對稱.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個端點,測得點M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標系xOy,假設曲線C符合函數(shù)y= (其中a,b為常數(shù))模型.
(1)求a,b的值;
(2)設公路l與曲線C相切于P點,P的橫坐標為t.
①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;
②當t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,f(x)=2sin(x-A)cosx+sin(B+C)(x∈R),函數(shù)f(x)的圖象關于點對稱.
(1)當時,求f(x)的值域;
(2)若a=7且,求△ABC的面積.
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【題目】已知橢圓E: ,其焦點為F1,F2,離心率為,直線l:x+2y-2=0與x軸,y軸分別交于點A,B,
(1)若點A是橢圓E的一個頂點,求橢圓的方程;
(2)若線段AB上存在點P滿足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范圍.
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【題目】(2016·無錫模擬)已知函數(shù)f(x)滿足,當x∈[0,1]時,f(x)=x.若g(x)=f(x)-mx-2m在區(qū)間(-1,1]上有兩個零點,則實數(shù)m的取值范圍是________________.
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,以原點為圓心,橢圓的長半軸為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知點, 為動直線與橢圓的兩個交點,問:在軸上是否存在點,使為定值?若存在,試求出點的坐標和定值,若不存在,請說明理由.
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【題目】設函數(shù),,.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當時,討論函數(shù)與圖像的交點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|2x-1|(a∈R).
(1)當a=-1時,求f(x)≤2的解集;
(2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含集合,求實數(shù)a的取值范圍.
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