【題目】某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個端點,測得點M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y= (其中a,b為常數(shù))模型.
(1)求a,b的值;
(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點,P的橫坐標(biāo)為t.
①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;
②當(dāng)t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度.
【答案】(1) 見解析(2)見解析
【解析】試題分析:(1)由題意知,點M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5),將其分別代入y=建立方程組,即可求a,b的值;(2)①求出切線l的方程,可得A,B的坐標(biāo),即可寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;②設(shè)g(t)=t2+利用導(dǎo)數(shù),確定單調(diào)性,即可求出當(dāng)t為何值時,公路l的長度最短,并求出最短長度.
試題解析:
(1)由題意知,點M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).
將其分別代入y=,
得解得,
(2)①由(1)知,y= (5≤x≤20),
則點P的坐標(biāo)為,設(shè)在點P處的切線l交x,
y軸分別于A,B點,y′=-,
則l的方程為
y-=- (x-t),
由此得A,B.
故f(t)== ,t∈[5,20].
②設(shè)g(t)=t2+,則g′(t)=2t-.
令g′(t)=0,解得t=10.
當(dāng)t∈(5,10)時,g′(t)<0,g(t)是減函數(shù);
當(dāng)t∈(10,20)時,g′(t)>0,g(t)是增函數(shù).
從而,當(dāng)t=10時,函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,
所以g(t)min=300,此時f(t)min=15.
答 當(dāng)t=10時,公路l的長度最短,最短長度為15千米.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點,點是圓上任意一點,線段的垂直平分線與半徑交于點,當(dāng)點在圓上運動時,
(1)求點的軌跡的方程;
(2)過作直線與曲線相交于兩點, 為坐標(biāo)原點,求面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在定義域上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若,令,試討論函數(shù)的零點個數(shù),并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,設(shè)傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))與曲線(為參數(shù))相交于不同的兩點、.
(1)若,求線段的中點的直角坐標(biāo);
(2)若直線的斜率為,且過已知點,求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系中,極點與直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與軸的非負(fù)半軸重合,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;
(2)判斷曲線與曲線的位置關(guān)系,若兩曲線相交,求出兩交點間的距離.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸方程;
(2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定:居民區(qū)的年平均濃度不得超過3S微克/立方米, 的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米.某市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)2016年20天的24小時平均濃度(單位:微克/立方米)的監(jiān)測數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖表:
組別 | 濃度(微克/立方米) | 頻數(shù)(天) | 頻率 |
第一組 | 3 | 0.15 | |
第二組 | 12 | 0.6 | |
第三組 | 3 | 0.15 | |
第四組 | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)將這20天的測量結(jié)果按表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖.
(ⅰ)求圖中的值;
(ⅱ)在頻率分布直方圖中估算樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計總體的思想,從的年平均度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善?并說明理由.
(Ⅱ)將頻率視為概率,對于2016年的某3天,記這3天中該居民區(qū)的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.
(1)求C;
(2)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓G: 的離心率為,過橢圓G右焦點F的直線m:x=1與橢圓G交于點M(點M在第一象限).
(Ⅰ)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)已知A為橢圓G的左頂點,平行于AM的直線l與橢圓G相交于B,C兩點,請判斷直線MB,MC是否關(guān)于直線m對稱,并說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com