【題目】如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB=3,P是AB上的一個動點(diǎn),∠CPB=α,∠DPA=β. (Ⅰ)當(dāng) 最小時,求tan∠DPC的值;
(Ⅱ)當(dāng)∠DPC=β時,求 的值.

【答案】解:(Ⅰ)以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸, 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
則A(0,0),B(3,0),C(3,2),
D(0,1),令P(x,0),0≤x≤3

所以 ,
當(dāng) 時, 最小
此時 ,在△CPB中, ,
在△DPA中,
所以 ,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,

∵∠DPC=β,∴α=π﹣2β,tanα=﹣tan2β
整理得:
此時

【解析】(I)以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,分別寫出點(diǎn)A,B,C,D,P的坐標(biāo),利用數(shù)量積和二次函數(shù)的單調(diào)性\兩角和的正切公式即可得出;(II)利用誘導(dǎo)公式和倍角公式即可得出.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了兩角和與差的正切公式的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握兩角和與差的正切公式:才能正確解答此題.

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