Question

已知函數(shù)，其中a，b∈R

(1)當(dāng)a＝3，b＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線方程為2x－3y－e＝0(e＝2.71828 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求a，b的值；

(3)當(dāng)a＞0，且a為常數(shù)時(shí)，若函數(shù)h(x)＝x[f(x)＋lnx]對(duì)任意的x1＞x2≥4，總有成立，試用a表示出b的取值范圍.

 

Answer 1

(1)；(2)；(3)時(shí)，，時(shí)，

【解析】

試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最小值；(2)要注意給出某點(diǎn)處的切線方程，就既有該點(diǎn)的坐標(biāo)，也有該點(diǎn)出切線的斜率，利用這兩個(gè)條件可求出a與b的值；(3)解決本題的關(guān)鍵是由“對(duì)任意的x1＞x2≥4，總有成立”轉(zhuǎn)化出“在上單調(diào)遞增”，從而再次轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于0的問(wèn)題求解.解題過(guò)程中要注意對(duì)參數(shù)的合理分類(lèi)討論.

試題解析：(1)當(dāng)a＝3，b＝－1時(shí)，

∴

∵x＞0，∴0＜x＜時(shí)f '(x)＜0，x＞時(shí)，f '(x)＞0

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴在處取得最小值

即 4分

(2)∵

∴ (1)

又切點(diǎn)(e，f(e))在直線2x－3y－e＝0上

∴切點(diǎn)為

∴ (2)

聯(lián)立(1)(2)，解得. 8分

(3)由題意，對(duì)任意的x1＞x2≥4，總有成立

令

則函數(shù)p(x)在上單調(diào)遞增

∴在上恒成立

∴在上恒成立 10分

構(gòu)造函數(shù)

則

∴F(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

(i)當(dāng)，即時(shí)，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴

∴，從而 12分

(ii)當(dāng)，即時(shí)，F(xiàn)(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增

，從而 13分

綜上，當(dāng)時(shí)，，時(shí)， 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，參數(shù)的取值范圍，分類(lèi)與整合.