已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:BC1∥平面CA1D;
(2)求證:平面CA1D⊥平面AA1B1B;
(3)若底面ABC為邊長為2的正三角形,BB1= ,求三棱錐B1-A1DC的體積.
(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3).
解析試題分析:(1)由直線和平面平行的判定定理知,要證明面,只需在面內(nèi)找一條直線平行于即可,連接交于點(diǎn),連接,由三角形中位線定理,得,進(jìn)而證明面;(2)由面面垂直的判定定理,只需在一個(gè)平面內(nèi)找另一個(gè)平面的一條垂線即可,由已知得
面,故平面平面;(3)求四面體體積,關(guān)鍵在于利用等體積轉(zhuǎn)化法,選擇合適的底面便于求高,∵,依題意,高為,再求底面的面積,進(jìn)而求三棱錐的體積.
試題解析:(1)連接交于點(diǎn),連接,因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/65/4/1oxwa3.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形,則為的中點(diǎn),又是的中點(diǎn),,又面,面,面.
(2),是的中點(diǎn),,又面, 面,,
,面,面, 平面平面.
(3)解: ,則(2)知CD⊥面ABB1B, 所以高就是CD= ,BD=1,BB1=,所以A1D=B1D=A1B1=2, , .
考點(diǎn):1、直線和平面平行的判定定理;2、面面垂直的判定定理;3、三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,ABCD是正方形,平面ABCD,E,F(xiàn)是AC,PC的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖C,D是以AB為直徑的圓上的兩點(diǎn),,F是AB上的一點(diǎn),且,將圓沿AB折起,使點(diǎn)C在平面ABD的射影E在BD上,已知
(1)求證:AD平面BCE
(2)求證:AD//平面CEF;
(3)求三棱錐A-CFD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四邊形ABCD為矩形,四邊形ADEF為梯形,AD//FE,∠AFE=60º,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB==2,點(diǎn)G為AC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EG//平面ABF;
(Ⅱ)求三棱錐B-AEG的體積;
(Ⅲ)試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直?若垂直,請(qǐng)證明;若不垂直,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
()如圖,四棱錐中,平面,底面是平行四邊形,,是的中點(diǎn)
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)試在線段上確定一點(diǎn),使,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)在三棱柱中,側(cè)面為矩形,,,為的中點(diǎn),與交于點(diǎn),側(cè)面.
(1)證明:;
(2)若,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直三棱柱的三視圖如圖所示,且是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)試問線段上是否存在點(diǎn),使與成 角?若存在,確定點(diǎn)位置,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,是以為直徑的半圓上異于點(diǎn)的點(diǎn),矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面,且
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設(shè)平面與半圓弧的另一個(gè)交點(diǎn)為,
①求證://;
②若,求三棱錐E-ADF的體積.
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